Théorème de Cayley-Hamilton

Le polynôme minimal étant un diviseur du polynôme caractéristique, on commence par calculer ce dernier :

\(P_{\textrm{car},A_m}(X)=\left|\begin{array}{cccc}2m-5-X&1&1&4-m\\0&m-X&0&0\\5-m&-1&m-1-X&m-4\\2m-10&2&2&8-m-X\end{array}\right|\)

En développant suivant la ligne 2,

\(P_{\textrm{car},A_m}(X)=(m-X)\left|\begin{array}{ccc}2m-5-X&1&4-m\\5-m&m-1-X&m-4\\2m-10&2&8-m-X\end{array}\right|\)

En effectuant les transformations \(L_1\leftarrow L_1+L_2\), \(L_3\leftarrow L_3+2L_2\), puis en factorisant dans la ligne 1 et dans la ligne 3 :

\(P_{\textrm{car},A_m}(X)=(m-X)\left|\begin{array}{ccc}m-X&m-X&0\\5-m&m-1-X&m-4\\0&2m-2X&m-X\end{array}\right|(m-X)^3\left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\5-m&m-1-X&m-4\\0&2&1\end{array}\right|\)

La transformation \(C_2\leftarrow C_2-2C_3\) entraîne :

\(P_{\textrm{car},A_m}(X)=(m-X)^3\left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\5-m&-m+7-X&m-4\\0&0&1\end{array}\right|=(m-X)^3(-m+7-X-5+m)\)

Donc \(P_{\textrm{car},A_m}(X)=(m-X)^3(2-X)\).

Suivant les valeurs de \(m\), la matrice possède une ou deux valeurs propres.

• Etude du cas \(m=2\)

  \(P_{\textrm{car},A_2}(X)=(2-X)^4\) et \(A_2-2I_4=\left(\begin{array}{cccc}-3&1&1&2\\0&0&0&0\\3&-1&-1&-2\\-6&2&2&4\end{array}\right)\ne0\)

  donc \(A_2\) n'est pas diagonalisable et \(P_{\textrm{min},A_2}(X)=(X-2)^r\), \(2\le r\le4\).

  On calcule alors \((A_2-2I_4)^2\) et on trouve la matrice nulle donc \(P_{\textrm{min},A_2}(X)=(X-2)^2\).

• Etude du cas \(m\ne2\)

  Dans ce cas la matrice possède une valeur propre simple et une valeur propre triple, donc son polynôme minimal est de la forme \(P_{\textrm{min},A_m}(X)=(X-m)^r(X-2)\), \(1\le r\le3\).

  De plus c'est le polynôme annulateur de plus bas degré, on calcule alors \((A_m-mI_4)(A_m-2I_4)\). C'est à dire \(\left(\begin{array}{cccc}m-5&1&1&4-m\\0&0&0&0\\5-m&-1&-1&m-4\\2m-10&2&2&8-2m\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}2m-7&1&1&4-m\\0&m-2&0&0\\5-m&-1&m-3&m-4\\2m-10&2&2&6-m\end{array}\right)\).

  On remarque que les lignes de la matrice de gauche sont proportionnelles, il suffit donc de calculer le produit de la première par chacune des colonnes de celle de droite pour obtenir le produit matriciel.

  \((m-5)(2m-7)+0+(5-m)+(4-m)(2m-10)=(m-5)(2m-7-1+8-2m)=0\)

  \((m-5)+(m-2)+(-1)+(4-m)(2)=m-5+m-2-1+8-2m=0\)

  \((m-5)+0+(m-3)+2(4-m)=0\)

  \((m-5)(4-m)+0+(m-4)+(4-m)(6-m)=(4-m)(m-5-1+6-m)=0\)

  Tous ces produits étant nuls, \((A_m-mI_4)(A_m-2I_4)\) est la matrice nulle. Donc \(P_{\textrm{min},A_m}(X)=(X-m)(X-2)\).

  Remarque : Dans ce cas le polynôme minimal est scindé et n'a que des racines simples d'où la matrice \(A_m\) est diagonalisable.