Construction d'une matrice vérifiant une relation

Partie

Question

Soit \(A\) une matrice carrée d'ordre \(n\) à coefficients dans \(\mathbf K\), \(\mathbf K\) étant \(\mathbb R\) ou \(\mathbb C\), vérifiant la relation : \(A^2+A+I_n=0\)

où \(I_n\) désigne la matrice unité d'ordre \(n\).

  1. On suppose \(\mathbf K=\mathbb C\), montrer que la matrice \(A\) est diagonalisable.

  2. On suppose \(\mathbf K=\mathbb R\).

    a. Montrer que la matrice \(A\) n'est pas diagonalisable.

    b. Montrer que \(n\) est un entier pair.

    c. On suppose \(n=2\). Construire une telle matrice.

    d. Trouver, à l'aide de la question précédente et pour tout entier \(n\) pair, une matrice réelle \(A\) d'ordre \(n\) vérifiant la relation \(A^2+A+I_n=0\).

Aide simple

2.d Penser aux matrices par blocs.

Aide méthodologique

2.b A partir du polynôme minimal, prévoir la forme du polynôme caractéristique.

2.c Ecrire \(A\) sous la forme \(A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\), et utiliser le lien entre le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de cette matrice, pour choisir des réels \(a, b, c\) et \(d\) convenables.

Solution détaillée

  1. Le polynôme \(X^2+X+1\) est un polynôme annulateur de \(A\). Dans \(\mathbb C[X]\) ce polynôme est égal à \(\displaystyle{\left(X-\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)\left(X-\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right)}\), il est donc scindé et n'a que des racines simples. Il en est de même de tout diviseur de ce polynôme et en particulier du polynôme minimal \(P_{\textrm{min},A}\) de \(A\).

    Par conséquent, la matrice \(A\) est diagonalisable.

    Remarque : la matrice \(A\) est inversible car \(0\) n'est pas une valeur propre de \(A\) (puisque \(0\) n'est pas racine du polynôme \(X^2+X+1\) multiple de \(P_{\textrm{min},A}\)).

    On peut dire aussi que la matrice \(A\) est inversible car \(A^2+A+I_n=0\Rightarrow I_n=-A^2-A=A(-A-I_n)=(-A-I_n)A\), ce qui est une caractérisation d'une matrice inversible. (L'inverse de \(A\) étant la matrice \(-A-I_n\)).

  2. a. Dans \(\mathbb R[X]\), le polynôme \(X^2+X+1\) est un polynôme annulateur de \(A\). Il est irréductible, c'est donc le polynôme unitaire de plus bas degré annulateur de \(A\), et par conséquent \(X^2+X+1\) est le polynôme minimal de \(A\).

    Ce polynôme n'étant pas scindé, la matrice \(A\) n'est pas diagonalisable.

    De même que précédemment, la matrice \(A\) est inversible.

    b. De plus le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de \(A\) ont les mêmes facteurs irréductibles. Donc le polynôme caractéristique de \(A\) est de la forme \((-1)^n(X^2+X+1)^k\) où \(k\) est un entier, d'où \(n=2k\) et \(n\) est pair.

    c. Si \(n=2\), d'après la question b., le polynôme caractéristique de \(A\) est \(X^2+X+1\). On cherche \(A\) sous la forme \(A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\), où \(a, b, c\) et \(d\) sont des réels tels que \(P_{\textrm{car},A}(X)=(a-X)(d-X)-bc=X^2+X+1\).

    Donc il faut et il suffit que les réels \(a, b, c\) et \(d\) vérifient les équations \(a+d=-1\) et \(ad-bc=1\). Par exemple les réels \(a=-1\), \(b=1\), \(c=-1\) et \(d=0\) conviennent :

    \(A=\left(\begin{array}{cc}-1&1\\-1&0\end{array}\right)\)

    d. On sait que si \(A\) est une matrice carrée d'ordre \(n\), qui se présente comme un tableau diagonal de matrices carrées :

    \(A=\left(\begin{array}{cccc}A_1&0&\cdots&0\\0&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\cdots&0&A_r\end{array}\right)\),

    alors \(P_{\textrm{min},A}(X)=\textrm{PPCM }(P_{\textrm{min},A_i}(X))\).

    Donc, pour tout entier \(n=2k\), il suffit de construire une matrice carrée d'ordre \(2k\) se présentant comme un tableau diagonal de \(k\) matrices carrées d'ordre 2, ayant chacune le même polynôme minimal \(X^2+X+1\).

    Par exemple, la matrice \(A\) de la forme indiquée précédemment avec \(r=k\) et \(A_i=\left(\begin{array}{cc}-1&1\\-1&0\end{array}\right)\), pour tout \(i\), \(1\le i\le k\), vérifie bien \(A^2+A+I_n=0\).