Puissance de matrice
Partie
Question
Soit la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}0 &1&0\\-4&4&0\\-2&1&2\end{array}\right)\).
Calculer le polynôme caractéristique de \(A\) puis son polynôme minimal.
En déduire, pour tout entier strictement positif \(n\), la matrice \(A^n\) en fonction de \(A\) et de \(I_3\).
Aide simple
2. L'identité de la division euclidienne s'écrit :
\((*)\) \(X^n=P_{\textrm{min},A}(X)Q_n(X)+a_nX+b_n\)
On en déduit par dérivation :
\(nX^{n-1}=P'_{\textrm{min},A}(X)Q_n(X)+P_{\textrm{min},A}(X)Q'_n(X)+a_n\)
Aide méthodologique
2. Ecrire l'identité de la division euclidienne du polynôme \(X^n\) par le polynôme minimal en explicitant le reste \(R_n(X)\). En déduire que \(A^n\) est égale à \(R_n(A)\). Trouver les coefficients de \(R_n(X)\) en utilisant la(es) racine(s) du polynôme minimal et leur(s) ordre(s) de multiplicité.
Solution détaillée
\(P_{\textrm{car},A}(X)=\left|\begin{array}{ccc}-X&1&0\\-4&4-X&0\\-2&1&2-X\end{array}\right|=(2-X)\left|\begin{array}{cc}-X&1\\-4&4-X\end{array}\right|\)
D'où \(P_{\textrm{car},A}(X)=(2-X)^3\).
La matrice \(A\) possède une unique valeur propre et n'est pas diagonale donc elle n'est pas diagonalisable et son polynôme minimal est de la forme \((X-2)^r\) avec \(r=2\) ou \(r=3\).
On calcule les puissances successives :
\(A-2I_3=\left(\begin{array}{ccc}-2&1&0\\-4&2&0\\-2&1&0\end{array}\right)\), puis \((A-2I_3)^2=\left(\begin{array}{ccc}-2&1&0\\-4&2&0\\-2&1&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-2&1&0\\-4&2&0\\-2&1&0\end{array}\right)=0\).
D'où \(P_{\textrm{min},A}(X)=(X-2)^2\).
Soit \(n\) un entier strictement positif, la division euclidienne du polynôme \(X^n\) par le polynôme \((X-2)^2\), de degré 2, s'écrit :
\((*)\) \(X^n=(X-2)^2Q_n(X)+a_nX+b_n\)
où \(a_n\) et \(b_n\) sont des nombres réels et \(Q_n(X)\) est un polynôme à coefficients réels.
On en déduit \(A^n=a_nA+b_nI_3\).
On recherche donc les réels \(a_n\) et \(b_n\).
\(X^n=(X-2)^2Q_n(X)+a_nX+b_n\) donc \(2^n=2a_n+b_n\).
Une relation ne suffit pas pour trouver deux nombres. Le réel 2 étant racine double du polynôme \((X-2)^2\), on dérive la relation \((*)\) ainsi :
\(nX^{n-1}=2(X-2)Q_n(X)+(X-2)^2Q_n'(X)+a_n\)
donc \(n2^{n-1}=2(2-2)Q_n(2)+(2-2)^2Q_n'(2)+a_n\)
Ce qui entraîne \(a_n=n2^{n-1}\) et \(b_n=2^n-2a_n=(1-n)2^n\).
On conclut alors : \(\forall n\in\mathbb N^*\), \(A^n=n2^{n-1}A+(1-n)2^nI_3\)