Introduction
Nous verrons, dans le paragraphe suivant, des exemples de séries à termes non tous de même signe, qui sont convergentes, sans être absolument convergentes : ces séries sont dites semi-convergentes.
C'est le cas de la série harmonique alternée, série de terme général \(\frac{(-1)^{n+1}}{n}\), \(n\geq 1\). On a montré, dans le cadre des applications de la formule de Taylor-Lagrange, l'égalité : \(\ln2=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^n}\) \(\frac{(-1)^{k+1}}{k}\). Cette égalité entraîne que la série de terme général \(\frac{(-1)^{n+1}}{n}\),\((n\geq 1)\), est convergente et a pour somme \(\ln2\).
Les séries absolument convergentes ont des propriétés que n'ont pas les séries semi-convergentes. C'est une raison pour commencer toujours par l'étude de l'absolue convergence d'une série.
Nous allons énoncer ces propriétés sans en donner la démonstration complète.