Séries numériques - Problèmes de synthèse

On note : \(s_n=\displaystyle{\sum_{p=0}^n}u_p\) et \(t_n=\displaystyle{\sum_{p=0}^n}v_p\), alors \(t_n=s_{2n+1}\).

Si la série \(\sum u_n\) est convergente, la suite \((s_n)\) est convergente alors la suite \((t_n)\), extraite de la suite \((s_n)\), est convergente et la série \(\sum v_n\) est convergente.

En revanche, si on considère la série de terme général \(u_n=(-1)^n\), alors \(v_n=0\). La série \(\sum u_n\) est divergente et la série \(\sum v_n\) est convergente.