Exercice 5

Durée : 7 mn

Note maximale : 5

Question

  1. Quelle est la nature de la série de terme général \(u_n=\sin[\pi(2-\sqrt{3})^n]\)?

  2. Montrer que pour tout entier \(n\geq 1\), \((2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n\) est un entier. En déduire la nature de la série de terme général \(v_n=\sin[\pi(2+\sqrt{3})^n]\).

Solution

  • On a \(0<2-\sqrt{3}<1\) donc la suite \(((2-\sqrt{3})^n)\) a pour limite 0.

    Comme \(\sin u\begin{array}{c}_\sim\\_{u\rightarrow 0}\end{array}u\), on a \(\sin u\begin{array}{c}_\sim\\_{u\rightarrow 0}\end{array}\pi(2-\sqrt{3})^n\). Le terme général \(u_n\) est positif et équivalent au terme général d'une série géométrique convergente.

    La série de terme général \(u_n\) est donc convergente.

  • On développe par la formule du binôme de Newton :

    \(\begin{array}{ccc}(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n&=&\displaystyle{\sum_{i=0}^n}C^i_n2^{n-i}(\sqrt{3})^i+\displaystyle{\sum_{i=0}^n}C^i_n2^{n-i}(-1)^i(\sqrt{3})^i\\&=&2\displaystyle{\sum_{j=0}^{[n/2]}}C_n^{2j}2^{n-2j}3^j\end{array}\)

    car si \(i\) est impair, les termes correspondants s'annulent,\( [n/2]\) désignant la partie entière de \(n/2\).

    On en déduit l'existence d'un entier \(k_n\) \((k_n=\displaystyle{\sum_{j=0}^{[n/2]}}C_n^{2j}2^{n-2j}3^j)\) tel que \(((2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n=2k_n)\).

    D'où \(v_n=\sin[\pi(2+\sqrt{3})^n]=\sin(2\pi k_n-\pi(2-\sqrt{3})^n)=-u_n\).

  • Et la série de terme général \(v_n\) est donc convergente.