Développements en série entière : méthodes et développements classiques

Les fonctions \(x\mapsto e^{-x}\) et \(x\mapsto \frac{1}{1+x}\) sont développables en série entière et leurs rayons de convergence sont respectivement \(+\infty\) et 1. Le produit de ces deux fonctions est donc développable en série entière et le rayon de convergence de la série entière correspondante est supérieur ou égal à 1. On note \(\sum a_nx^n\) cette série entière. On a donc, pour \(x\in ]-1,1[\): \((1+x)\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\right)=e^{-x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n!}\).

D'où en identifiant les deux développements,

\(a_0=1\), et \(\forall n\geq 1, a_n+a_{n-1}=\frac{(-1)^n}{n!}\).

On en déduit donc, par une récurrence immédiate : \(a_n=(-1)^n\left(\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)\).

On remarque que \(a_n\) ne tend pas vers 0 quand \(n\) tend vers l'infini (\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}|a_n|=e\)) : le rayon de convergence est au plus 1. Compte tenu de l'inégalité montrée au début, le rayon est exactement 1.