Développements en série entière : méthodes et développements classiques

À partir du développement, \((1+x)^m=1+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{m(m-1)\ldots(m-n+1)}{n!}x^n\), \(m\) désignant un nombre réel, dont le rayon de convergence est 1, on a dans le disque unité ouvert :

\((1+x^3)^{-\frac12}=1+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{1.3.5\ldots(2n-1)}{2.4.6\ldots 2n}x^{3n}\).

L'intervalle d'intégration est contenu dans l'intervalle \(]-1,1[\), on peut donc intégrer terme à terme. On a donc : \(I=\frac12+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{1.3.\ldots(2n-1)}{2.4.\ldots 2n}\times\frac{1}{(3n+1)2^{3n+1}}\).

Pour majorer le reste, on peut appliquer le théorème des séries alternées. On a en effet, en notant \(u_n\) le terme général de la série : \(\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\frac{(2n+1)(3n+1)}{(2n+2)(2n+4)}\times\frac{1}{2^3}\leq \frac 14\). Le module du terme général tend donc vers 0 en décroissant. En notant \(R_n\) le reste d'ordre, on a donc : \(|R_n|\leq |u_{n+1}|\).

On obtient , \(|R_4|\leq|u_5|=\frac{1.3.5.7.9}{2.4.6.8.10}\times\frac{1}{16}\times\frac{1}{2^{16}}\) d'où \(|R_4|\leq \frac{1}{4\times 10^6}< 3\times 10^{-7}\).

Pour calculer à \(2\times 10^{-7}\) près la somme d'ordre 4 notée \(S_4\), on calcule chacun des termes \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\), \(u_4\), à \(5.10^-8\) près. On a finalement : \(0,4925781-10^{-6}\leq l\leq 0,4925781+10^{-6}\).