Développements en série entière : méthodes et développements classiques

Les équations différentielles de Bessel, ici avec n entier, sont des équations différentielles du second ordre linéaires mais dont les coefficients ne sont pas constants.

Dans cette première question, un changement de fonction permet d'obtenir une équation différentielle du second ordre linéaire plus simple que l'équation initiale et dont on pourra déterminer des solutions développables en série entière.

À partir de l'égalité \(y=x^nu\), on déduit \(y'=nx^{n-1}u+x^nu', y''=n(n-1)x^{n-2}u+2nx^{n-1}u'+x^nu''\)

En reportant ces expressions dans l'équation différentielle (En), on obtient l'équation différentielle en u : \(x^{n+1}(xu''+(2n+1)u'+xu)=0\) soit \((E'_n)\) \(xu''+(2n+1)u'+xu=0\).

On cherche une solution sous la forme de la somme d'une série entière, \(u(x)=\displaystyle\sum_{p=0}^{+\infty}a_px^p\). On a alors dans le disque de convergence de la série entière : \(u'(x)=\displaystyle\sum_{p=1}^{+\infty}pa_px^{p-1}\) et \(u''(x)=\displaystyle\sum_{p=2}^{+\infty}p(p-1)a_px^{p-2}\).

En reportant ces expressions dans l'équation (\(E'_n\)) et en identifiant on obtient : \(a_1=0, a_0+2(2n+2)a_2=0 \ldots a_{p-2}+p(p+2n)a_p=0\).

Les coefficients d'ordre impair sont donc nuls et on a :

\(a_2=-\frac{a_0}{4(n+1)}\),

\(a_4=-\frac{a_2}{4\times 2(n+2)}\),

\(\ldots\ldots\ldots\ldots\)

\(a_{2p}=-\frac{a_{2p-2}}{4\times p(n+p)}\).

En multipliant membre à membre les égalités ci-dessus, on obtient :

\(\forall p\in N, a_2p=(-1)^p\frac{a_0n!}{4^p p!(n+p)!}\).

On obtient donc les séries entières \(a_0\sum(-1)^h\frac{n!}{h!(n+h)!}\left(\frac x2\right)^{2h}\), dont le rayon de convergence est infini car,

si \(a_0\neq 0\) \(\left|\frac{a_{2h+2}}{a_{2h}}\right|=\frac{1}{4(h+1)(n+h+1)}\).

Les fonctions \(x\mapsto a_0\displaystyle\sum_{h=0}^{+\infty}(-1)^h\frac{n!}{h!(n+h)!}\left(\frac x2\right)^{2h}\)sont donc solutions de l'équation différentielle \((E'_n)\), en particulier celle qui prend la valeur 1 pour \(x = 0\), \(u_n(x)=\displaystyle\sum_{h=0}^{+\infty}(-1)^h\frac{n!}{h!(n+h)!}\left(\frac x2\right)^{2h}\).

La fonction de Bessel d'ordre \(n\), \(J_n\), est donc somme d'une série entière de rayon de convergence infini :

\(J_n(x)=\left(\frac x2\right)^n\displaystyle\sum_{h=0}^{+\infty}\frac{(-1)^h}{h!(n+h)!}\left(\frac x2\right)^{2h}\).

On a donc \(J_{n+1}(x)=\left(\frac x2\right)^{n+1}\displaystyle\sum_{h=0}^{+\infty}\frac{(-1)^h}{h!(n+1+h)!}\left(\frac x2\right)^{2h}\) et \(J_{n-1}(x)=\left(\frac x2\right)^{n-1}\displaystyle\sum_{h=0}^{+\infty}\frac{(-1)^h}{h!(n-1+h)!}\left(\frac x2\right)^{2h}\).

On en déduit \(J_{n+1}(x)+J_{n-1}(x)=\left(\frac x2\right)^{n-1}\left(\frac{1}{(n-1)!}+\displaystyle\sum_{h=1}^{+\infty}\frac{(-1)^h}{(h-1)!(n-1+h)!}\left(\frac 1h-\frac{1}{n+h}\right)\left(\frac x2\right)^{2h}\right)\), soit encore : \(J_{n+1}(x)+J_{n-1}(x)=\left(\frac x2\right)^{n-1}\left(\frac{1}{(n-1)!}+\displaystyle\sum_{h=1}^{+\infty}\frac{n(-1)^h}{h!(n+h)!}\left(\frac x2\right)^{2h}\right)\).

On a finalement \(J_{n+1}(x)+J_{n-1}(x)=n\left(\frac x2\right)^{n-1}\displaystyle\sum_{h=0}^{+\infty}\frac{(-1)^h}{h!(n+h)!}\left(\frac x2\right)^{2h}\), soit \(J_{n+1}(x)+J_{n-1}(x)=\frac{2n}{x}J_n(x)\).