Développements en série entière : méthodes et développements classiques

On cherche a priori une solution \(f\) de (E) sous la forme \(f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\). D'où \(f'(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}na_nx^{n-1}\) et \(f''(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}\). En reportant dans (E) et en identifiant les termes en \(x^n\) dans les deux membres, on obtient les égalités :

\(-a_1=1\)

\(2a_2-2a_2=0\)

\(6a_3+a_1-3a_3=0\)

\(\ldots\ldots\ldots\)

\((n-1)(n-2)a_{n-1}+(n+1)na_{n+1}+(n-1)a_{n-1}-(n+1)a_{n+1}=0\), soit encore

\((n-1)a_{n-1}+(n+1)a_{n+1}=0\).

Cette dernière relation est encore valable pour \(n = 2\), d'où :

\(\forall n\geq 2, (n+1)a_{n+1}=-(n-1)a_{n-1}\).

On cherche une solution, on peut donc choisir \(a_0=0\), on obtient les égalités : \((2n+1)a_{2n+1}=-(2n-1)a_{2n-1}=\ldots=(-1)^na_1=(-1)^{n+1}\).

D'où \(f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}x^{2n+1}=-\arctan{x}\). Il s'agit d'une série entière dont le rayon de convergence est 1.

On considère l'équation différentielle homogène associée à (E). Elle s'écrit : (H) \(x(x^2+1)y''+(x^2-1)y'=0\).

On pose \(y'=u\). L'équation différentielle (H) devient (H') \(x(x^2+1)u' +(x^2-1)u=0\). C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre.

Le coefficient de \(u'\) s'annulant pour \(x = 0\), on doit considérer les solutions de (H') sur \(]0,+\infty[\) et \(]-\infty,0[\).

On a alors \(\frac{u'}{u}=\frac1x-\frac{2x}{1+x^2}\), d'où \(\ln{|u|}=k+\ln{\left|\frac{x}{1+x^2}\right|}\) où \(k\) est un nombre réel.

Sur \(]0,+\infty[\), on a \(u(x)=k_1\frac{2x}{1+x^2}\) avec \(k_1\in R_+\) et sur \(]-\infty,0[\), \(u(x)=k_2\frac{2x}{1+x^2}\) avec \(k_2 \in R\). Les fonctions correspondantes étant prolongeables en 0, l'ensemble des fonctions \(x\mapsto k\frac{2x}{1+x^2}, (k\in R)\), constitue l'ensemble des solutions de l'équation différentielle homogène associée à (H') sur \(R\).

On en déduit l'ensemble des solutions de (H) sur R :

\(x\rightarrow c_1\ln{(1+x^2)}+c_2\), avec \(c_1\in R, c_2\in R\) et l'ensemble des solutions de (E) sur \(R\) est donc l'ensemble des fonctions :

\(x\mapsto -\arctan{x}+c_1\ln{(1+x^2)}+c_2\).