Problème 1
Partie
Question
Soit \((a_n)\) une suite de nombres réels déterminée par la donnée de ses deux premiers termes \(a_0=0,a_1=1\) et la relation de récurrence : \(\forall n\geq 2\), \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\). On considère la série entière \(\sum a_nz^n\), on note \(R\) son rayon de convergence.
1. Montrer que l'on a pour \(n\geq 1\), \(0<a_n\leq 2^{n-1}\). En déduire un minorant strictement positif pour \(R\).
Solution détaillée
L'inégalité \(0<a_n\leq 2^{n-1}\) est vérifiée pour \(n=1\) et \(0=a_0\leq 2^{-1}\).
Supposons qu'elle soit vérifiée jusqu'à l'ordre n – 1 pour un certain entier \(n\geq 2\). On a alors : \(0<a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\leq 2^{n-2}+2^{n-3}<2^{n-1}\).
On en déduit, pour tout entier \(n\geq 1\) et tout \(z\in C\), \(|a_nz^n|\leq 2^{n-1}|z^n|\). Le rayon de convergence de la série entière est donc au moins celui de la série \(\sum 2^{n-1}z^n\), soit 1/2. On a donc \(R\geq \frac 12\).
Question
2. On pose \(\forall z\in D(0,R)\), \(f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n\). Montrer que l'on a : \((1-z-z^2)f(z)=z\). En déduire un majorant pour \(R\).
Solution détaillée
Pour tout entier \(n\geq 2\) et tout \(z\in C\), on a : \(a_nz^n=a_{n-1}z^n+a_{n-2}z^n\).
On peut donc écrire pour \(z\in D(0,R)\):
\(\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}a_nz^n=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}a_{n-1}z^n+\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}a_{n-2}z^n\), soit encore,
\(f(z)-a_0-a_1z=z(f(z)-a_0)+z^2f(z)\), d'où : \(f(z)=\frac{z}{1-z-z^2}\).
La somme d'une série entière étant continue dans le disque de convergence, le rayon de convergence de la série est au plus égal au module de la racine de plus petit module du polynôme \(X^2+X-1\).
Les deux racines de ce polynôme, sont \(\alpha=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\) et \(\beta=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\).
On a donc \(R\leq\frac{\sqrt{5}-1}{2}\).
Question
3. Calculer explicitement les coefficients \(a_n\) et déterminer alors \(R\).
Solution détaillée
Pour calculer le développement en série entière de \(f(z)\), on décompose la fraction rationnelle \(\frac{X}{1-X-X^2}\) en éléments simples, c'est-à-dire qu'on l'écrit sous la forme \(\frac{a}{X-b}+\frac{c}{X-d}\).
Le calcul est immédiat :
\(\frac{X}{1-X-X^2}=\frac{-X}{-1+X+X^2}=\frac{-X}{(X-\alpha)(X-\beta)}=\frac{-\alpha}{(\alpha-\beta)(X-\alpha)}+\frac{-\beta}{(\beta-\alpha)(X-\beta)}\).
Remarquant que l'on a \(\alpha\beta=-1\)
\(\begin{array}{ccc}\frac{-\alpha}{(\alpha-\beta)(X-\alpha)}+\frac{-\beta}{(\beta-\alpha)(X-\beta)}&=&\frac{\alpha}{(\alpha-\beta)(\alpha\beta X+\alpha)}+\frac{\beta}{(\beta-\alpha)(\alpha\beta X+\beta)}\\&=&\frac{1}{(\alpha-\beta)}\left(\frac{1}{\beta X+1}-\frac{1}{\alpha X +1}\right)\\&=&\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1}{1+\beta X}-\frac{1}{1+\alpha X}\right)\end{array}\)
On a les égalités :
\(\forall z\in D\left(0,\frac{1}{|\alpha|}\right)\), \(\frac{1}{1+\alpha z}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-\alpha)^nz^n\) et \(\forall z \in D\left(0,\frac{1}{|\beta|}\right)\), \(\frac{1}{1+\beta z}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-\beta)^nz^n\).
On a :\(\forall n\geq 0\), \(a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{5}}(\beta^n-\alpha^n)\).
La série entière est la somme de deux séries entières de rayon de convergence respectifs \(\frac{1}{|\alpha|}\) et \(\frac{1}{|\beta|}\)distincts.
On a donc : \(R=inf\left(\frac{1}{|\alpha|},\frac{1}{|\beta|}\right)=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\).
Remarque :
Le procédé utilisé ici est un procédé classique (dit des séries génératrices) : pour étudier une suite récurrente, on lui associe la série entière dont les coefficients sont les termes de la suite. Cela permet d'introduire des outils analytiques dans l'étude d'une suite définie arithmétiquement (ici la suite de Fibonacci) ou probabilistiquement.