Problèmes de synthèse

On a, pour tout \(z\in C, e^{xz}-e^z=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n-1}{n!}z^n\). On en déduit :

\(\forall z\in C^*,\) \(\frac{e^{xz}-e^z}{z}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n-1}{n!}z^{n-1}\).

Ainsi, si on prolonge la fonction \(z\mapsto \frac{e^{xz}-e^z}{z}\) à l'origine en lui donnant la valeur \(x-1\), la fonction, ainsi définie est dans C la somme de la série entière \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n-1}{n!}z^{n-1}\).

Pour que la fonction \(z\mapsto \frac{z}{e^z-1}\), prolongée en 0, soit développable en série entière, il faut que sa restriction à \(R\) soit continue en 0 et il faut la prolonger par la valeur 1 à l'origine. Nous allons montrer que cette fonction est la somme d'une série entière dans un disque ouvert de rayon non nul centré en 0. On suppose qu'il existe des coefficients \(a_n\) tels qu'on ait, pour z appartenant à un disque ouvert de rayon non nul centré en 0 : \(\frac{z}{e^z-1}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n\).

Les coefficients \(a_n\) sont définis à partir de l'égalité \(\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n\right)\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{z^{n-1}}{n!}\right)=1\), soit :

\(a_0=1\), et \(\forall n\geq 1\), \(a_n+\frac{a_{n-1}}{2!}+\ldots+\frac{a_1}{n!}+\frac{a_0}{(n+1)!}=0\).

Il s'agit maintenant non de déterminer ces coefficients mais de montrer que la série entière qu'ils définissent a un rayon de convergence non nul.

On a immédiatement : \(a_0=1\), \(\frac{a_0}{2}+a_1=0\), d'où\( |a_1|\leq 1\).

Supposons qu'on ait : \(\forall k \in \{0,1,\ldots,n-1\}, |a_k|\leq 1\). On en déduit :

\(|a_n|=\left|\frac{a_{n-1}}{2!}+\ldots+\frac{a_1}{n!}+\frac{a_0}{(n+1)!}\right|\leq \frac{|a_{n-1}|}{2!}+\ldots+\frac{|a_1|}{n!}+\frac{|a_0|}{(n+1)!}\leq \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots+\frac{1}{n!}+\frac{1}{(n+1)!}<e-2<1\).

Les inégalités \(\forall n\in N\), \(|a_n|\leq 1\), entraînent que le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nz^n\) est au moins celui de la série géométrique, soit 1 (en fait il vaut \(2\pi\)).

Donc sur le disque unité \(\frac{z}{e^z-1}\), prolongée par 1 en 0, admet le développement en série entière \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n\)

Dans le disque unité ouvert \(D(0,1)\), on peut considérer la fonction \(z\mapsto \frac{e^{xz}-e^z}{e^z-1}\) prolongée par \(x-1\) en 0 comme le produit des fonctions \(z\mapsto \frac{e^{xz}-e^z}{z}\) et \(z\mapsto \frac{z}{e^z-1}\). On a donc : \(\frac{e^{xz}-e^z}{e^z-1}=\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n\right)\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n-1}{n!}z^{n-1}\right)\).

Les coefficients du développement en série entière de la fonction \(z\mapsto \frac{e^{xz}-e^z}{e^z-1}\) sont des expressions polynomiales en \(x\). On pose : \(\frac{e^{xz}-e^z}{e^z-1}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}P_n(x)\frac{z^n}{n!}\).

On a donc d'une part \(e^{xz}-e^z=\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}\right)\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}P_n(x)\frac{z^n}{n!}\right)\) (1),

et d'autre part \(e^{xz}-e^z=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n-1}{n!}z^n=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n-1}{n!}z^n\) (2).

En identifiant dans (1) et (2) les termes en \(z^n\) \((n\geq 1)\),

on obtient l'égalité : \(\frac{x^n-1}{n!}=\frac{P_0(x)}{n!}+\frac{P_1(x)}{(n-1)!}+\ldots+\frac{P_h(x)}{(n-h)!h!}+\ldots+\frac{P_{n-1}(x)}{(n-1)!}\)(3).

On a : \(P_0(x)=x-1\). Donc \(P_0\) est un polynôme de degré 1. En supposant que pour \(k\in \{0,1,2,\ldots,n-1\}\), \(P_k\) est un polynôme de degré \(k+1\), l'égalité précédente (3) écrite au rang \(n+1\) montre que \(P_n(x)=\frac{x^{n+1}-1}{n+1}-n!\left(\frac{P_0(x)}{(n+1)!}+\frac{P_1(x)}{n!}+\ldots+\frac{P_h(x)}{(n+1-h)!h!}+\ldots+\frac{P_{n-1}(x)}{2!(n-1)!}\right)\) et donc que \(P_n\) est un polynôme de degré \(n+1\).

Considérons la fonction \(z\mapsto \frac{e^{(x+1)z}-e^z}{e^x-1}-\frac{e^{xz}-e^z}{e^z-1}\); on a : \(\frac{e^{(x+1)z}-e^z}{e^z-1}-\frac{e^{xz}-e^x}{e^z-1}=e^{xz}\).

On en déduit : \(\forall z\in D(0,1)\), \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(P_{n+1}(x+1)-P_n(x))\frac{z^n}{n!}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^nz^n}{n!}\).

En identifiant les termes en \(z^n\) dans les expressions du développement de la fonction \(z\mapsto \frac{e^{(x+1)z}-e^z}{e^z-1}-\frac{e^{xz}-e^z}{e^z-1}\), on obtient :

\(\forall n\in N\), \(\forall x\in R\), \(P_n(x+1)-P_n(x)=x^n\).

On a alors, pour tout entier naturel n :

\(\forall k\in N^*, \left\{\begin{array}{c}P_n(k)-P_n(k-1)=(k-1)^n\\P_n(k-1)-P_n(k-2)=(k-2)^n\\\ldots\ldots\ldots\\P_n(2)-P_n(1)=1\end{array}\right.\)(4)

Par ailleurs, par définition \(0=\frac{e^{1z}-e^z}{e^z-1}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}P_n(1)\frac{z^n}{n!}\), de sorte que :

\(\forall n\geq 0, P_n(1)=0\).

En additionnant les égalités membre à membre dans (4), on obtient : \(\forall n\in N\), \(\forall k\in N^*\), \(P_n(k)=1+2^n+\ldots+(k-1)^n\).

Soit \(n\in N\). Soit \(Q\) un polynôme vérifiant :

\(\forall k\in N^*\), \(Q(k)=1+2^n+\ldots+(k-1)^n\). Alors, le polynôme \(P_n-Q\) admet une

infinité de racines et est donc le polynôme nul. Il existe donc un polynôme unique, de degré \(n+1\), vérifiant : \(\forall k\in N^*\), \(P_n(k)=\displaystyle\sum_{p=1}^{k=1}p^n\).

Un petit calcul donne :

\(P_0(x)=x-1\),

\(P_1(x)=\frac{x(x-1)}{2}\),

\(P_2(x)=\frac{x(x-1)(2x-1)}{6}\),

\(P_3(x)=\left(\frac{x(x-1)}{2}\right)^2\).