Problème 2
Partie
Question
Soit \((a_n)\) une suite de nombres complexes.
1. On suppose que la suite \((a_n)\) vérifie les conditions : \(a_1=1\) et \(\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}n|a_n|\leq 1\). Montrer que le rayon \(R\) de convergence de la série entière \(\sum a_nz^n\) vérifie \(R\geq 1\).
On pose : \(\forall z\in D(0,R), f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n\). Montrer que la fonction \(f\) est injective dans le disque unité ouvert \(D(0,1)\).
Solution détaillée
Les conditions imposées entraînent qu'on a, pour tout entier \(n\geq 1\), \(|a_n|\leq 1\). On en déduit pour tout entier \(n\geq 1\), \(|a_n||z^n|\leq|z^n|\). Le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_n z^n\) est au moins égal à celui de la série géométrique, d'où \(R\geq 1\).
Soient \(z\) et \(z'\) deux points distincts du disque unité \(D(0,1)\). On a :
\(f(z)-f(z')=z-z'+\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}a_n(z^n-z'^n)\).
\(f(z)-f(z')=(z-z')\left(1+\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}a_n(z^{n-1}+z^{n-2}z'+\ldots+zz'^{n-2}+z'^{n-1})\right)\).
On pose, pour \(n\geq 2\), \(u_n(z,z')=a_n(z^{n-1}+z^{n-2}z'+\ldots+zz'^{n-2}+z'^{n-1})\). On a alors :
\(|z^{n-1}+z^{n-2}z'+\ldots+zz'^{n-2}+z'^{n-1}|\leq |z^{n-1}|+|z^{n-2}z'|+\ldots+|zz'^{n-2}|+|z'^{n-1}|<n\),
d'où \(|u_n(z,z')|\leq n|a_n|\). L'inégalité est stricte si \(a_n\neq 0\). On remarque que si pour \(n\geq 2\)
tous les coefficients \(a_n\) sont nuls, on a alors \(f(z)=a_0+z\) et la fonction \(f\) est injective dans \(C\). Donc, si pour
\(n\geq 2\) les \(a_n\) ne sont pas tous nuls, on a : \(\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}|u_n(z,z')|<\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}n|a_n|\leq 1\).
On en déduit : \(\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}|u_n(z,z')|<1\) et donc \(|f(z)-f(z')|\geq |z-z'|\left(1-\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}|u_n(z,z')|\right)>0\)
d'où\( f(z)\neq f(z')\).
Question
2. On suppose \(a_1\neq 0\). Montrer que, si le rayon de convergence \(R\) de la série \(\sum a_nz^n\) est non nul, il existe un réel \(r\) strictement positif tel que la somme \(f\) de la série soit injective dans le disque \(D(0,r)\).
Solution détaillée
Soit \(R\) le rayon de convergence non nul de la série entière \(\sum a_nz^n\). Posons, pour \(r\) réel vérifiant \(0<r<R\): \(\phi(r)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}n|a_n|r^{n-1}\).
La série entière \(\displaystyle\sum_{n\geq 1}n|a_n|z^{n-1}\) a même rayon de convergence que la série entière \(\displaystyle\sum_{n\geq 1}na_nz^{n-1}\), série dérivée de la série entière \(\sum a_nz^n\).
La fonction \(\phi\) est donc définie et de classe \(C^\infty\) sur l'intervalle \(]-R,R[\).
Quand \(r\) tend vers 0, on a : \(\displaystyle\lim_{r\rightarrow 0}\phi(r)=\phi(0)=|a_1|\), d'où
\(\displaystyle\lim_{r\rightarrow 0}\left(\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}n|a_n|r^{n-1}\right)=0\).
Donc, pour \(r\) assez petit, on a : \(\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}n|a_n|r^{n-1}<|a_1|\).
Soit \(r\) un réel strictement positif vérifiant cette inégalité. La série entière \(\sum \frac{a_n}{a_1r}r^nw^n\) vérifie les hypothèses de la question 1.
La fonction \(F\), définie par \(F(w)=\frac{1}{a_1r}f(rw)\) est définie dans le disque unité \(D(0,1)\) et injective dans ce disque et la fonction \(f\) est injective dans le disque \(D(0,r)\).
Question
3. Déterminer le plus grand disque ouvert de centre 0 dans lequel la fonction \(\phi:C\rightarrow C, z\mapsto z^2+z\) est injective.
Solution détaillée
L'égalité \(z^2+z=z'^2+z'\) s'écrit encore \((z-z')(z+z'+1)=0\).
Donc si \(z\) et \(z'\) appartiennent au disque \(D(0,1/2)\), on a \(|z+z'+1|>0\) et l'égalité \(z^2+z=z'^2+z'\) implique \(z=z'\).
La fonction \(z\mapsto z+z^2\) est donc injective dans le disque \(D(0,1/2)\).
D'autre part, on a, pour \(x\) réel, \(x^2+x=\left(x+\frac12\right)^2-\frac14\).
Ainsi, pour tout \(\epsilon>0\), deux points \(-\frac12+\epsilon\) et \(-\frac12-\epsilon\) ont même image par la fonction \(z\mapsto z+z^2\).
Le disque \(D(0,1/2)\) est donc le plus grand disque ouvert dans lequel la fonction \(z\mapsto z+z^2\) est injective.