Continuité [Suites de fonctions]

Continuité

Théorème : Conservation de la continuité par convergence uniforme

Si une suite de fonctions ( $f_{n}$ ) converge uniformément sur $I$ vers une fonction $f$ et si les $f_{n}$ sont continues sur $I$ , alors $f$ est continue sur $I$ .

Démonstration :

Il s'agit d'une conséquence du théorème précédent, puisque dire que $f_{n}$ est continue sur $I$ revient à dire que $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\textrm{lim}} \left( f_{n}(x) \right) = f_{n}(x_{0})$ pour tout $x_{0}$ de $I$ ; on applique donc le théorème précédent en remplaçant $\ell n$ par $f_{n}(x_{0})$ :

$\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \left( f_{n}(x_{0})\right)= \underset{x \rightarrow x_{0}}{\textrm{lim}}{\left( f(x) \right)}$ .

Or, $\underset{n \rightarrow + \infty}{\textrm{lim}} \left( f_{n}(x_{0})\right) = f(x_{0})$ puisque ( $f_{n}$ ) converge vers $f$ sur $I$ et que $x_{0} \in I$ ; donc, $f(x_{0}) = \underset{x \rightarrow x_{0}}{\textrm{lim}} \left( f(x) \right)$ , ce qui signifie que $f$ est continue en $x_{0}$ , et ceci pour tout $x_{0}$ de $I$ , donc $f$ est continue sur $I$ .

Remarque : Remarque 1

Ceci nous fournit un moyen de prouver la non-convergence uniforme ; en effet, si les $f_{n}$ sont continues et si $f$ n'est pas continue, alors il n'y a pas convergence uniforme (voir l'exemple 3 dans l'introduction).

Remarque : Remarque 2

L'exemple 1 nous montre que la convergence uniforme est une condition suffisante pour affirmer la continuité de la limite uniforme d'une suite de fonctions continues, mais pas une condition nécessaire ; en effet, dans cet exemple, toutes les fonctions $f_{n}$ sont continues sur $\mathbb{R}^{*}_{+}$ , la fonction limite $f$ est elle aussi continue sur $\mathbb{R}^{*}_{+}$ et nous avons pourtant montré que la suite ( $f_{n}$ ) ne converge pas uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}^{*}_{+}$ .

Théorème : Corollaire : une condition suffisante plus faible

Si une suite de fonctions ( $f_{n}$ ) converge simplement sur $E$ vers une fonction $f$ , si la suite ( $f_{n}$ ) converge uniformément sur tout fermé borné $A$ de $E$ et si les $f_{n}$ sont continues sur $E$ , alors $f$ est continue sur $E$ .

Démonstration :

Soit $x_{0}$ un élément quelconque de $E$ ; on enferme $x_{0}$ dans un fermé borné $A$ inclus dans $E$ et on applique le théorème 5 à $A$ ; $f$ est alors continue en $x_{0}$ .