Continuité
Théorème : Conservation de la continuité par convergence uniforme
Si une suite de fonctions (\(f_{n}\)) converge uniformément sur \(I\) vers une fonction \(f\) et si les \(f_{n}\) sont continues sur \(I\), alors \(f\) est continue sur \(I\).
Démonstration :
Il s'agit d'une conséquence du théorème précédent, puisque dire que \(f_{n}\) est continue sur \(I\) revient à dire que \(\underset{x \rightarrow x_{0}}{\textrm{lim}} \left( f_{n}(x) \right) = f_{n}(x_{0})\) pour tout \(x_{0}\) de \(I\) ; on applique donc le théorème précédent en remplaçant \(\ell n\) par \(f_{n}(x_{0})\) :
\(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \left( f_{n}(x_{0})\right)= \underset{x \rightarrow x_{0}}{\textrm{lim}}{\left( f(x) \right)}\).
Or, \(\underset{n \rightarrow + \infty}{\textrm{lim}} \left( f_{n}(x_{0})\right) = f(x_{0})\) puisque (\(f_{n}\)) converge vers \(f\) sur \(I\) et que \(x_{0} \in I\) ; donc, \(f(x_{0}) = \underset{x \rightarrow x_{0}}{\textrm{lim}} \left( f(x) \right)\), ce qui signifie que \(f\) est continue en \(x_{0}\), et ceci pour tout \(x_{0}\) de \(I\), donc \(f\) est continue sur \(I\).
Remarque : Remarque 1
Ceci nous fournit un moyen de prouver la non-convergence uniforme ; en effet, si les \(f_{n}\) sont continues et si \(f\) n'est pas continue, alors il n'y a pas convergence uniforme (voir l'exemple 3 dans l'introduction).
Remarque : Remarque 2
L'exemple 1 nous montre que la convergence uniforme est une condition suffisante pour affirmer la continuité de la limite uniforme d'une suite de fonctions continues, mais pas une condition nécessaire ; en effet, dans cet exemple, toutes les fonctions \(f_{n}\) sont continues sur \(\mathbb{R}^{*}_{+}\), la fonction limite \(f\) est elle aussi continue sur \(\mathbb{R}^{*}_{+}\) et nous avons pourtant montré que la suite (\(f_{n}\)) ne converge pas uniformément vers \(f\) sur \(\mathbb{R}^{*}_{+}\).
Théorème : Corollaire : une condition suffisante plus faible
Si une suite de fonctions (\(f_{n}\)) converge simplement sur \(E\) vers une fonction \(f\) , si la suite (\(f_{n}\)) converge uniformément sur tout fermé borné \(A\) de \(E\) et si les \(f_{n}\) sont continues sur \(E\), alors \(f\) est continue sur \(E\).
Démonstration :
Soit \(x_{0}\) un élément quelconque de \(E\) ; on enferme \(x_{0}\) dans un fermé borné \(A\) inclus dans \(E\) et on applique le théorème 5 à \(A\) ; \(f\) est alors continue en \(x_{0}\).