Suites de fonctions

On montre d'abord que (\(f_{n}\)) est une suite de Cauchy uniforme sur \([a, b]\) : \(\left| f_{p}(x) - f_{q}(x)\right| \leq \left|f_{p}(x) - f_{q}(x) - f_{p}(x_{0}) + f_{q}(x_{0}) \right| + \left| f_{p}(x_{0}) - f_{q}(x_{0}) \right|\)

\(\forall \varepsilon > 0 \quad \exists n_{1} \quad \forall p, q > n_{1} \quad \left| f_{p}(x_{0}) - f_{q}(x_{0}) \right| < \frac{\varepsilon}{2}\).

De plus, d'après le théorème des accroissements finis appliqués à la fonction (\(f_{p} - f_{q}\)) sur \([x_{0}, x]\), il existe \(y\) dans \(]x_{0}, x[\) tel que :

\(\left| f_{p}(x) - f_{q}(x) - f_{p}(x_{0}) + f_{q}(x_{0}) \right| = \left| x - x_{0}\right|.\left| f'_{p}(y) - f'_{q}(y)\right| \leq \left| b - a \right|. \underset{y \in [a, b]}{\textrm{sup}} \left\{~\left| f'_{p}(y) - f'_{q}(y)\right|~\right\}\)

\(\forall \varepsilon > 0 \quad \exists n_{2} \quad \forall p, q > n_{2} \quad \underset{y \in [a, b]}{\textrm{sup}} \left\{ \left| f'_{p}(y) - f'_{q}(y)\right|\right\} < \frac{\varepsilon}{2~(b - a)}\)

Posons \(N = \textrm{max} \{n_{1}, n_{2}\}\) : \(\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \quad \forall p, q > N \quad \forall x \left| f_{p}(x) - f_{q}(x)\right| < \frac{\varepsilon}{2} + (b - a) \frac{\varepsilon}{2~(b - a)} = \varepsilon\)

\(f_{n}\) vérifie ainsi le critère de Cauchy uniforme sur \([a, b]\), donc (\(f_{n}\)) a une limite uniforme \(f\) sur \([a, b]\).

Ensuite, on fixe \(x_{1}\) dans \([a, b]\) et on pose :

\(\begin{array}{r l c l} \textrm{Pour}~~ x \in [a, b] - \{x_{1}\} : & \rho_{n}(x) = \frac{f_{n}(x) - f_{n}(x_{1})}{x - x_{1}} & \textrm{et}~~\rho(x) = \frac{f(x) - f(x_{1})}{x - x_{1}} \\ \textrm{Pour}~~x = x_{1} : & \rho_{n}(x_{1}) = f'_{n}(x_{1}) & \textrm{et}~~\rho(x_{1}) = \underset{n \rightarrow 9+\infty}{\textrm{lim}} \left( f'_{n}(x_{1} \right)\end{array}\)

Il est clair que les fonctions \(f_{n}\) ainsi définies sur \([a,b]\) sont continues en \(x_{1}\) et convergent simplement vers \(\rho\) sur \([a,b]\).

Pour montrer que \(f\) est dérivable en \(x_{1}\) et que \(f'(x_{1}) = \underset{n \rightarrow + \infty}{\textrm{lim}} \left( f'_{n}(x_{1}) \right)\).

Il suffit de montrer que \(\rho\) est continue en \(x_{1}\), car ainsi :

\(\begin{array}{r c l} f'(x_{1}) & = & \underset{x \rightarrow x_{1}}{\textrm{lim}} \frac{f(x) - f(x_{1})}{x - x_{1}}~~\textrm{par définition} \\ \\ & = & \underset{x \rightarrow x_{1}}{\textrm{lim}} \left( \rho (x)\right) \\ \\ & = & \rho(x_{1})~~\textrm{si}~~\rho~~\textrm{est continue en}~~x_{1} \\ \\& = & \underset{x \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \left( f'_{n}(x_{1}) \right) \end{array}\)

Pour montrer que \(\rho\) est continue en \(x_{1}\), il suffit de montrer que la suite de fonctions continues (\(\rho_{n}\)) converge uniformément sur \([a, b]\).

Pour cela, comme (\(f'_{n}\)) converge uniformément sur \([a, b]\), (\(f'_{n}\)) est uniformément de Cauchy, c'est à dire que, si l'on fixe \(\varepsilon > 0\), on peut trouver \(N\) dans \(\mathbb{N}\) tel que \(n \geq N~~~~~p \geq N\), pour tout \(t\) de \([a, b]\), \(\left| f'_{n}(t) - f'_{p}(t) \right| < \varepsilon \qquad (3)\)

En appliquant à (\(f_{n} - f_{p}\)) la formule des accroissements finis entre \(x_{1}\) et \(x\), il existe \(t\) dans \(]x_{1}, x[\) tel que : \(\left( f_{n}(x) - f_{p}(x)\right) - \left(f_{n}(x_{1}) - f_{p}(x_{1})\right) = (x - x_{1}) \left( f'_{n}(t) - f'_{p}(t)\right)\)

soit, en divisant par (\(x - x_{1}\)) : \(\frac{f_{n}(x) - f_{n}(x_{1})}{x - x_{1}} - \frac{f_{p}(x) - f_{p}(x_{1})}{x - x_{1}} = f'_{n}(t) - f'_{p}(t)\)

d'où, en appliquant (3) : \(\left| \frac{f_{n}(x) - f_{n}(x_{1})}{x - x_{1}} - \frac{f_{p}(x) - f_{p}(x_{1})}{x - x_{1}} \right| < \varepsilon\).

C'est-à-dire : \(\left| \rho_{n}(x) - \rho_{p}(x)\right| < \varepsilon\) pour tout \(x\) de \([a, b] - \{x_{1}\}. \qquad (4)\)

L'inégalité (large) reste vraie en \(x_{1}\) par passage à la limite \((x \rightarrow x_{1})\) car les fonctions \(\rho_{n}\) et \(\rho_{p}\) sont continues en \(x_{1\)}.

Faisons tendre \(p\) vers \(+\infty\) dans (4) ; on obtient : pour tout \(n \geq N\), pour tout \(x \in [a, b]\), \(\left|\rho_{n}(x) - \rho(x)\right| \leq \varepsilon\)

c'est-à-dire : \((\rho_{n})\) converge uniformément vers \(\rho\) sur \([a, b]\).