Introduction
Il s'agit de systèmes différentiels de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{cccc}x'_1 & = & \alpha_{1,1}x_1+...+\alpha_{1,n}x_n & +b_1(t) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x'_n & = & \alpha_{n,1}x_1+...+\alpha_{n,n}x_n & +b_n(t)\end{array}\right.}\)
Notons \(X(t)\) le vecteur \(\displaystyle{\left[\begin{array}{ccc}x_1(t) \\ \vdots \\ x_n(t)\end{array}\right]}\), \(A\) la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{ccc}\alpha_{1,1} & \ldots & \alpha_{1,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \alpha_{n,1} & \ldots & \alpha_{n,n} \end{array}\right)}\) et B(t) le vecteur\( \displaystyle{\left[\begin{array}{l}b_1(t) \\ \vdots \\ b_n(t) \end{array}\right]}\)
Le système s'écrit alors \(X'(t) = A X(t) + B(t)\).
Proposition : Soient \(U_1\) et \(U_2\) deux solutions du système \(X'(t) = A X(t) + B(t)\). Alors \(U_1 - U_2\) est solution du système homogène[1] \(X'(t) = A X(t)\) .
En effet on a \(U'_1(t)-U'_2(t)=AU_1(t)+B(t)-AU_2(t)-B(t)=A(U_1(t)-U_2(t))\)
Il s'ensuit le principe fondamental qui permet de trouver toutes les solutions :
La solution générale du système \(X'(t) = A X(t) + B(t)\) s'obtient en ajoutant à la solution générale du système homogène[1] \(X'(t) = A X(t)\) une solution particulière du système initial.
Le système \(X'(t) = AX(t)\) est appelé système homogène associé au système avec second membre \(X'(t) = AX(t) + B(t)\). Nous avons appris à résoudre un tel système dans les pages précédentes.
Il reste à savoir comment trouver une solution particulière du système \(X'(t) = A X(t) + B(t)\).
Il existe essentiellement deux méthodes, qui seront détaillées dans les pages suivantes :
Trouver une solution particulière par variation des constantes
Trouver une solution particulière par identification
Remarque : Parfois \(B(t)\) se présente comme une somme de plusieurs fonctions, par exemple \(B(t) = B_1(t) + B_2(t)\) .
Si \(U(t)\) est une solution particulière du système \(X'(t) = AX(t) + B_1(t)\) et \(V(t)\) une solution particulière de \(X'(t) = A X(t) + B_2(t)\), alors \(U(t) + V(t)\) est solution du système \(X'(t) = AX(t) + B_1(t) + B_2(t)\).
Cette remarque permet souvent de décomposer le second membre \(B(t)\) en deux ou plusieurs termes ; pour chacun, on applique la méthode la plus adaptée pour trouver une solution particulière.
Application : Après avoir lu les deux pages suivantes (variation des constantes et identification) et en utilisant les résultats des exemples donnés il est très facile d'écrire la solution générale du système
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x' = -2x+y+\textrm{ch}t+\textrm{exp}t \\ y' = 3y+\cos t+t\textrm{exp}t \end{array}\right.}\)
Faites-le !