Comment trouver une solution particulière d'un système X'(t) = AX(t) + B(t) par variation des constantes
Nous savons trouver une base \(X_1(t), ..., X_n(t)\) de l'espace des solutions de l'équation homogène \(X'(t) = AX(t)\).
Nous allons chercher une solution de l'équation complète \(X'(t) = AX(t) + B(t)\) sous la forme :
\(X(t)=\lambda_1(t)X_1(t)+...+\lambda_n(t)X_n(t)\)
où les fonctions \(\lambda_i(t)\) sont à valeurs réelles.
En reportant dans l'équation de départ et en simplifiant, on trouve
\(\lambda'_1(t)X_1(t)+...+ \lambda'_n(t)X_n(t)=B(t)\)
Or on peut montrer que, pour \(t\) fixé, les vecteurs \(X_1(t), ..., X_n(t)\) forment une base de \(R^n\).
On peut donc écrire, pour chaque \(t\),
\(B(t)=\mu_1(t)X_1(t)+...+\mu_n(t)X_n(t)\)
En prenant pour \(\lambda_i(t)\) une primitive de \(\mu_i(t)\), on obtient la solution particulière cherchée.
Exemple :
Soit à résoudre le système différentiel
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=-2x+y+\textrm{ch}t \\ y'=3y+\cos t\end{array}\right.}\)
Le système homogène associé
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x'=-2x+y \\ y'=3y\end{array}\right.}\)
se résout selon la méthode indiquée dans les pages précédentes : une base de solutions est
\(\displaystyle{X_1(t) = \left[\begin{array}{ll}\textrm{exp}(-2t) \\ 0\end{array}\right], X_2(t)=\left[\begin{array}{ll}\frac{1}{5}\textrm{exp}(3t) \\ \textrm{exp}(3t)\end{array}\right]}\)
Cherchons une solution particulière sous la forme
\(X(t)=\lambda_1(t)X_1(t)+\lambda_2(t)X_2(t)\)
En reportant dans l'équation, on voit que les fonctions \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) doivent vérifier
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}\lambda'_1\textrm{exp}(-2t)+\frac{1}{5}\lambda'_2\textrm{exp}(3t)=\textrm{ch}t \\ \lambda'_2\textrm{exp}(3t)=\cos t\end{array}\right.}\)
En résolvant ce système linéaire (non différentiel) on calcule les valeurs de \(\lambda'_1(t)\) et \(\lambda'_2(t)\)
En en prenant des primitives, on trouve
\(\lambda_2=\frac{\textrm{exp}(-3t)}{10}(\sin t-3\cos t)\)
\(\lambda_1=\frac{\textrm{exp}(3t)}{6}+\frac{\textrm{exp}t}{2}+\frac{\textrm{exp}(2t)}{25}(2\cos t+\sin t)\)
La solution générale du système est finalement :
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x(t)=A\textrm{exp}(-2t)+B\frac{\textrm{exp}(3t)}{5}+\frac{\textrm{exp}t}{6}+\frac{\textrm{exp}(-t)}{2}+\frac{1}{50}(\cos t+3\sin t) \\ y(t)=B\textrm{exp}(3t)+\frac{1}{10}(\sin t-3\cos t)\end{array}\right.}\)