Trouver une solution particulière d'un système X'(t) = AX(t) + B(t) par identification

Lorsque toutes les composantes du second membre \(B(t)\) du système \(X'(t) = A X(t) + B(t)\) sont d'un type particulier, on peut souvent chercher une solution particulière dont les fonctions composantes sont du même type que ce second membre, puis ajuster les coefficients en reportant dans le système donné.

Cette méthode est parfois plus agréable à mettre en oeuvre que la méthode de variation des constantes

Plus précisément, si toutes les composantes de \(B(t)\) sont le produit de polynômes \(P_i(t)\) par une même fonction exponentielle \(\textrm{exp}(at)\), on peut chercher chaque composante \(x_i(t)\) de la solution sous la forme \(Q_i(t) \textrm{exp}(at)\). Si tous les \(\P_i\) sont de degré inférieur ou égal à \(p\), on cherchera chaque \(Q_i\) de degré \(p\) (au plus).

Remarquons que la forme ci-dessus englobe le cas où toutes les composantes de \(B(t)\) sont des polynômes (il suffit de prendre \(a = 0\)), et le cas où toutes les composantes de \(B(t)\) sont de la forme \(K_{i}\exp(at)\) (les polynômes \(\P_i\) sont alors des constantes).

Exemple

Soit à résoudre le système différentiel

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=-2x+y+\textrm{exp}t \\ y'=3y+t\textrm{exp}t\end{array}\right.}\)

Le système homogène associé

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=-2x+y \\ y'=3y\end{array}\right.}\)

se résoud selon la méthode indiquée dans les pages précédentes : les solutions s'écrivent

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x(t)=A\textrm{exp}(-2t)+\frac{B}{5}\textrm{exp}(3t) \\ y(t)=B\textrm{exp}(3t)\end{array}\right.}\)

Puisque les composantes du "second membre" sont \(\textrm{exp} t\) et \(t \textrm{exp} t\), à savoir le produit de \(\textrm{exp} t\) par des polynômes de degré inférieur ou égal à 1, cherchons une solution particulière sous la forme

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x(t)=(\alpha t+\beta) \exp t \\ y(t)=(\gamma t+\delta)\exp t\end{array}\right.}\)

En calculant \(x'(t)\) et \(y'(t)\), puis en remplaçant dans le système initial et en identifiant, on obtient le système d'équations :

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}\alpha+\beta=-2\alpha+\delta+1 \\ \alpha=-2\alpha+\gamma \\ \gamma+\delta=3\gamma \\ \gamma=3\gamma+1\end{array}\right.}\)

dont la solution est

\(\alpha=-1/6,\beta=1/18,\gamma=-1/2,\delta=-1\)

Finalement, la solution générale du système donné est

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x(t)=A\textrm{exp}(-2t)+\frac{B}{5}\textrm{exp}(3t)+(-\frac{t}{6}+\frac{1}{18})\textrm{exp}t \\ y(t)=B\textrm{exp}(3t)+(-\frac{t}{2}-1)\textrm{exp}t\end{array}\right.}\)