Exemple d'un champ de vecteurs U sur un cercle 2/4
Partie
Question
Dans un repère cartésien , un vecteur \(\vec U\) a pour composantes \((-y, x, 0)\). Soit un point \(M\) de l'espace repéré par le rayon vecteur \(\vec r ~ (x, y, z)\).
a) Quelle est l'orientation relative de \(\vec U\) et de \(\vec r\) ?
b) Quelle est la norme de \(\vec U\) lorsque \(M\) appartient à un cercle de centre \(O\) et de rayon \(R = 1\).
c) Calculer la circulation de \(\vec U\) le long du cercle \(x^2 + y^2 = 1\) dans le sens trigonométrique.
Aide simple
Faites le produit scalaire : \(\vec U . \vec r\) .
Solution simple
\(\vec U . \vec r = 0\)
\(\vec U\) est orthogonal à \(\vec r\).
Solution détaillée
a) \(\vec U (-y, x, 0)~~\) \(~~\vec r ~ (x, y, z)\)
Effectuons le produit scalaire \(\vec U . \vec r\). Il est égal à
\(\vec U . \vec r = (-y) (x) + (x) (y) + (0) (z) = 0\)
Les deux vecteurs \(\vec U\) et \(\vec r\) sont donc orthogonaux .
b) La norme \(U\) du vecteur \(\vec U\) est la somme des carrés de ses composantes :
\(U=x^2 + y^2 = OM = 1\)
c) La circulation de \(U\) sur le cercle de rayon unité est \(\displaystyle \int_{(C)} \vec U . \mathrm d \vec l\) ,
or \(U\) est tangent en tout point au cercle.
Il en résulte que \(\vec A . \mathrm d \vec l = \pm A ~ \mathrm d l\) .