Circulation de E dans l'espace 4/4

Partie

Question

Quelle est la circulation \(C\) du champ électrostatique \(\vec E\) créée par une charge ponctuelle dans une direction radiale entre deux points \(M_1\) et \(M_2\) situés à une distance \(r_1\) et \(r_2\) de la charge ?

Aide simple

Le champ \(\vec E\) créé par une charge ponctuelle à la distance \(r\) est \(\vec E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 ~ r^2} \vec u\)

Aide détaillée

En coordonnées sphériques un déplacement élémentaire dans une direction radiale s'exprime par \(\mathrm d \vec M = \mathrm d r ~ \vec u_r\)

Solution simple

\(C = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \Big( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \Big)\)

Solution détaillée

\( C = \int_{M_1 M_2} \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 ~ r^2} ~ \vec u_r ~ \mathrm d r ~ \vec u_r = \int_{r_1}^{r_2} \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 ~ r^2} \mathrm d r\)

car le produit scalaire \(\vec u_r . \vec u_r = 1\)

\( C = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \int_{r_1}^{r_2} \frac{\mathrm d r}{r^2} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \Big[ -\frac{1}{r} \Big]_{r_1}^{r_2}\)

\(C = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \Big( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \Big)\)