Tige conductrice soumise à la force de Laplace [Le champ magnétostatique]

Tige conductrice soumise à la force de Laplace

Partie

Question

Une tige rigide conductrice rectiligne (bleue) est placée sur deux rails conducteurs parallèles distants de \(l\).

Un générateur de courant continu \(I_0\) est branché aux extrémités des deux rails. L'ensemble est placé dans un champ magnétique extérieur \(\vec B_{\mathrm{ext}}\) constant, uniforme et perpendiculaire au plan des deux rails. L'espace est rapporté à un référentiel orthonormé direct \((O ; x, y, z)\).

Déterminer la force de Laplace exercée sur la tige.

De quel côté se déplace la tige ?

Aide simple

Rappel de cours

Le produit scalaire :

\(\vec A.\vec B=\left(\begin{array}{c} A_1\\A_2\\A_3\end{array} \right)_{\mathcal{B}} . \left(\begin{array}{c} B_1\\B_2\\B_3\end{array} \right)_{\mathcal{B}} =A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3\)

Le produit vectoriel :

\(\vec A\wedge\vec B=\left(\begin{array}{c} A_1\\A_2\\A_3\end{array} \right)_{\mathcal{B}} \wedge\left(\begin{array}{c} B_1\\B_2\\B_3\end{array} \right)_{\mathcal{B}} =\left(\begin{array}{c} A_2B_3-A_3B_2\\A_3B_1-A_1B_3\\A_1B_2-A_2B_1\end{array} \right)_{\mathcal{B}}\)

Les opérateurs vectoriels :

Système de repérage cartésien \(\mathcal{B}_{\mathrm{cart.}}(\vec{e_x}, \vec{e_y}, \vec{e_z})\)

gradient : \(\vec{\mathrm{grad}}U\)	divergence : \(\mathrm{div}\vec A\)	rotationnel : \(\vec{\mathrm{rot}}\vec A\)
\(\left(\begin{array}{c} \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial x} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial y} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial z} } \end{array} \right)_{\mathcal{B}_{\mathrm{cart.}}}\)	\(\displaystyle{ \frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z} }\)	\(\left(\begin{array}{c} \displaystyle{ \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y} }\end{array} \right)_{\mathcal{B}_{\mathrm{cart.}}}\)

Système de repérage cylindrique \(\mathcal B_{\mathrm{cyl.}}(\vec{e_r},\vec{e_{\theta}},\vec{e_z})\)

gradient : \(\vec{\mathrm{grad}}U\)	divergence : \(\mathrm{div}\vec A\)	rotationnel : \(\vec{\mathrm{rot}}\vec A\)
\(\left(\begin{array}{c} \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial r} } \\ \displaystyle{ \frac{1}{r} \frac{\partial U}{\partial \theta} }\\ \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial z} } \end{array} \right)_{\mathcal{B}_{\mathrm{cyl.}}}\)	\(\displaystyle{ \frac{1}{r} \frac{\partial (r . A_r) }{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial A_{\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial A_z}{\partial z} }\)	\(\left(\begin{array}{c} \displaystyle{ \frac{1}{r} \frac{\partial A_z}{\partial \theta}-\frac{\partial A_ \theta}{\partial z} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r} } \\ \displaystyle{ \frac{1}{r} \left( \frac{\partial (r. A_{\theta})}{\partial r}-\frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right)} \end{array} \right)_{\mathcal{B}_{\mathrm{cyl.}}}\)

Nom de l'outil	Comment s'énonce-t-il ?	Quand l'utiliser ?
Théorème d'Ampère	\(\displaystyle{ \oint_{\mathcal C}\vec B.\vec{\mathrm{d}l}=\mu_0\sum I }\)	Pour calculer \(\vec B\) si la géométrie du problème permet un calcul simple de la circulation de \(\vec B\).
Loi de Biot et Savart	\(\displaystyle{ \vec B(M)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathcal D}\vec{\mathrm{d} \mathcal C}(P)\wedge\frac{\vec{PM}}{PM^3} }\)	Pour calculer \(\vec B\) si la géométrie de la distribution ne permet pas une application simple du théorème d'Ampère.
Relation champ magnétostatique/ potentiel vecteur	\(\vec{B}(M)=\vec{\mathrm{rot}}\vec A(M)\)	Pour calculer \(\vec B\) si \(\vec A\) est connu.
Définition de la force de Laplace	\(\vec{F_m}=\displaystyle{ \int_{\mathcal D}\vec{\mathrm{d} \mathcal C}(P)\wedge\vec B_{\mathrm{ext}}(P) }\)	Pour calculer la force qui s'exerce sur une distribution \(\mathcal D\) soumise à un champ magnétostatique extérieur \(\vec B_{\mathrm{ext}}\)
Théorème de Maxwell	\(W_{2\leftarrow1}=I . \Phi_c\)	Pour calculer directement le torseur des forces qui agissent sur un circuit.
Définition du potentiel vecteur	\(\displaystyle{ \vec A(M)=\int_{\mathcal D}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\vec{\mathrm{d}\mathcal C}(P)}{PM} }\)	Pour calculer \(\vec A\) si la distribution a un haut degré de symétrie.