Cinématique dans l'espace temps
Partie
Question
Mouvement rectiligne uniforme (*)
Ecrire en coordonnées polaires les équations paramétriques d'un mouvement rectiligne uniforme \(x= vt\) de vitesse v sur la droite \(y = b\).
Déterminer les composantes en coordonnées polaires du vecteur vitesse.
Aide simple
Utiliser les relations de changements de base dans le plan
Solution détaillée
En coordonnées cartésiennes les équations paramétriques du mouvement sont:
\(\begin{array}{rcl} y&=&b \\ x&=&vt \end{array}\)
Le passage des coordonnées cartésiennes aux polaires s'écrit :
\(\begin{array}{rcl} x &=& \rho \cos \phi \\ y &=& \rho \sin \phi\end{array}\)
Par suite :
\(\displaystyle{\phi=\textrm{arc}\textrm{ tg}\frac{b}{vt}}\)
et
\(\displaystyle{\rho=\sqrt{b^2+v^2t^2}}\)
Les équations paramétriques en coordonnées polaires sont donc :
\(\displaystyle{\rho'=\frac{v^2t}{\sqrt{b^2+v^2t^2}}\textrm{ et }\phi'=\frac{-bv}{b^2+v^2t^2}}\)
Les composantes du vecteur vitesse donnent :
\(\displaystyle{\overrightarrow v=\frac{v^2t}{\sqrt{b^2+v^2t^2}}\overrightarrow u_{\rho}+\frac{-bv}{\sqrt{b^2+v^2t^2}}\overrightarrow u_{\phi}}\)