Cinématique dans l'espace temps
Partie
Question
Calculs de mouvements dans le plan (**)
L'accélération d'un point se déplaçant sur une droite est : \(a = - kv^2 \textrm{ où }k\) est une constante et \(v\) la vitesse du point par rapport à un référentiel.
Pour \(t = 0 \quad v = v_0\) , calculer l'expression de la vitesse et l'expression du déplacement en fonction du temps.
Aide simple
Utiliser l'intégration par séparation de variables
Solution détaillée
On a \(\displaystyle{\frac{\textrm dv}{\textrm{dt}}=-kv^2\textrm{ ou encore }-\frac{\textrm dv}{\textrm v^2}=k\textrm{dt}}\)
Par intégration \(\displaystyle{\frac{1}{v}=kt+C^{te}}\)et la condition \(v = v_0 \textrm{ à }t = 0\) permet d'écrire finalement
\(\displaystyle{v=\frac{v_0}{v_0kt+1}=v_0(v_0kt+1)^{-1}}\)
qui s'écrit aussi
\(\displaystyle{\frac{\textrm dx}{\textrm{dt}}=v_0(v_0kt+1)^{-1}\textrm{ ou }\textrm dx=v_0(v_0kt+1)^{-1}\textrm{dt}}\)
En posant :
\(\displaystyle{u=(v_0kt+1)}\)
\(\displaystyle{\textrm du=v_0kt\textrm{dt}\textrm{ alors },\textrm dx=\frac{1}{k}\frac{\textrm du}{u}}\)
On obtient
\(\displaystyle{x=\frac{1}{k}\textrm{Log}(v_0kt+1)+\textrm{Cste}}\)