Cinématique dans l'espace-temps

Soit un mobile sur une trajectoire \((C)\) :

• à l'instant \(t\), il est en \(M\)

• à l'instant \(t'= t + \Delta t\), il est en \(M'\)

Par définition on appelle vecteur vitesse instantanée du mobile par rapport au référentiel \([R]\) :

\(\vec v(t)=\lim(\Delta t\rightarrow 0)\frac{\overrightarrow{MM'}}{\Delta t}\)

\(\vec v(t)=\lim(\Delta t\rightarrow 0)\frac{\overrightarrow{OM'}-\overrightarrow{OM}}{\Delta t}=\lim(\Delta t\rightarrow 0)\frac{\Delta\overrightarrow{OM}}{\Delta t}\)

Par définition, cette limite est la dérivée du rayon vecteur \(\vec r=\overrightarrow{OM}\) par rapport au temps, elle se note : \(\vec v=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\frac{d\vec r}{dt}\)

Il résulte de la définition que \(\vec v\) est un vecteur tangent en \(M\) à la trajectoire.

Compte tenu de la définition de la vitesse et en introduisant l'abscisse curviligne, on peut écrire puisque \(s\) dépend de \(t\).

Mais par définition : \(\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\lim_{(\Delta s\rightarrow 0)} \frac{\overrightarrow{MM'}}{\Delta s}\)

Quand \(\Delta s\) tend vers \(0\), la norme \(\frac{\parallel\overrightarrow{MM'}\parallel}{\Delta s}\) de ce vecteur tend vers 1.

(\(\parallel\overrightarrow{MM'}\parallel\) est la longueur de la corde \(MM'\) et \(\mid\Delta s\mid\) est la longueur de l'arc \(\stackrel{\frown}{MM'}\); lorsque \(s'\) tend vers \(s\), \(M'\) tend vers \(M\), la corde tend vers l'arc).

Sa direction est celle de la tangente orientée \(MT\), donc : \(\displaystyle\frac{d\overrightarrow{OM}}{ds}=\vec\tau\)

De la définition de la vitesse, on déduit : \(\vec v=\frac{ds}{dt}\vec\tau=v\vec\tau\) en posant \(v=\displaystyle\frac{ds}{dt}\)

La dérivée par rapport à une variable scalaire \(t\) d'une fonction vectorielle se calcule en exprimant cette fonction vectorielle sur une base.