Cinétique

Calculons le moment cinétique par rapport à un point \(A\) d'un point matériel \(M_i\) du système précédent dans un référentiel [\(R\)] :

\(\displaystyle{\overrightarrow{\sigma_{iA}}=\overrightarrow{AM_i}\wedge m_i\overrightarrow v_i=\overrightarrow{AM_i}\wedge\overrightarrow{p_i}}\)

Le moment cinétique d'un système de points matériels par rapport à \(A\) est la somme (vectorielle) des moments cinétiques de chacun des points matériels du système calculés dans le même référentiel et par rapport au même point \(A\) :

\(\displaystyle{(\overrightarrow{\sigma_A})_{IR}=\overrightarrow{\sigma_A}=\sum_{i=1}^N\overrightarrow{AM_i}\wedge m_i\overrightarrow{V_i}}\)

Comme pour une seule masse, la valeur du moment cinétique dépend du point pris pour origine.

On appelle référentiel du centre d'inertie [\(R_G\)] (ou référentiel du centre de masse ou référentiel barycentrique) d'un système matériel, un référentiel dont l'origine est au centre de masse du système matériel et dont les axes sont constamment parallèles aux axes respectifs d'un référentiel galiléen \([R]\).

Remarque:

Le moment cinétique n'est pas invariant par changement de référentiel puisqu'il dépend de la vitesse. Il existe un cas particulier qui fait exception à cette règle.

Considérons deux référentiels [\(R\)]: (\(O, x, y, z\)) et [\(R'\)]: (\(O', x', y', z'\)) en translation l'un par rapport à l'autre; cela signifie que les directions respectives des axes de [\(R'\)] sont fixes par rapport à [\(R\)]; pour simplifier nous les prendrons respectivement parallèles. Le repère [\(R'\)] est repéré dans [\(R\)] uniquement par la position de son origine \(O'\) (en fait la position de n'importe quel point fixe de \(R'\) conviendrait); le mouvement de \(O'\) dans [\(R\)] peut être quelconque (le mot "translation" ne signifie pas mouvement rectiligne).

Appelons \(\displaystyle{\overrightarrow{v_{O'}}}\) la vitesse de \(O'\) dans [\(R\)] (ce vecteur peut varier en norme et en direction).

Soit un système (\(S\)) de \(N\) points matériels et considérons un point \(A\) quelconque (il n'est pas forcément fixe dans [\(R\)] ni dans [\(R'\)]); nous pouvons calculer le moment cinétique du système (\(S\)) par rapport à \(A\) dans [\(R\)] et dans [\(R'\)].

Appelons \(\displaystyle{\overrightarrow{v_i}}\) la vitesse d'un point matériel \(M_i\) de masse \(m_i\) de (\(S\)) dans [\(R\)] et \(\displaystyle{\overrightarrow{v'_i}}\) la vitesse de \(M_i\) dans[\(R'\)], le moment cinétique s'écrit :

• par rapport à \(R\) : \(\displaystyle{(\overrightarrow{\sigma_A})_{IR}=\overrightarrow{\sigma_A}=\sum_{i=1}^N\overrightarrow{AM_i}\wedge m_i\overrightarrow V_i}\)

• par rapport à \(R'\) : \(\displaystyle{\overrightarrow{\sigma_{A_{IR'}}}=\overrightarrow{\sigma'_A}=\sum_{i=1}^N\overrightarrow{AM}_i\wedge m_i\overrightarrow{v'_i}}\)

La relation de composition des vitesses donne ( \(\omega_e\) étant nulle) : \(\displaystyle{\overrightarrow V_i=\overrightarrow{v'_i}+\overrightarrow{v_{O'}}}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{\sigma'_A}=\sum_{i=1}^N(\overrightarrow{AM_i}\wedge m_i(\overrightarrow V_i-\overrightarrow V_{O'}))}\)

ou encore \(\displaystyle{\overrightarrow{\sigma'_A}=\sum_{i=1}^N(\overrightarrow{AM_i}\wedge m_i\overrightarrow V_i)-(\sum_{i=1}^Nm_i\overrightarrow{AM_i})\wedge\overrightarrow{v_{O'}}}\)

Le signe \(\sum\) ne porte pas sur \(O'\) qui ne dépend pas du point \(i\).

En tenant compte de la définition du centre de masse, l'expression entre crochet s'écrit :

\(\displaystyle{\sum_{i=1}^Nm_i\overrightarrow{AM_i}=m\overrightarrow{AG}}\)

Et par suite: \(\displaystyle{\overrightarrow{\sigma'_A}=\overrightarrow{\sigma_A}-m\overrightarrow{AG}\wedge\overrightarrow{v_{O'}}}\)

Le point \(A\) étant quelconque, nous pouvons en particulier le prendre au centre de masse \(G\) du système et on a alors la propriété remarquable suivante:

\(\displaystyle{\overrightarrow{\sigma'_G}=\overrightarrow{\sigma_G}}\)

Le moment cinétique d'un système matériel par rapport à son centre d'inertie défini dans un référentiel \([R]\), est le même dans tout référentiel en translation par rapport à \([R]\).