Cinétique

Soit un point matériel \(M\) de masse \(m\) animé d'une vitesse dans un référentiel [\(R\)].

On appelle énergie cinétique du point matériel \(M\) dans le référentiel [\(R\)] la quantité scalaire positive: \(\displaystyle{T=\frac{1}{2}mv^2}\)

Soit un système de \(N\) points matériels ; un point \(M_i\) de masse \(m_i\) est animé d'une vitesse\( \displaystyle{\overrightarrow{v_i}}\)dans un référentiel [\(R\)].

On appelle énergie cinétique d'un système matériel la somme des énergies cinétiques de chacun des points matériels du système: \(\displaystyle{T=\sum_{i=1}^N\frac{1}{2}m_iv_i^2}\)

Si on associe au système son référentiel du centre de masse [\(R_G\)], la règle de composition des vitesses donne, en appelant \(\displaystyle{\overrightarrow{V'_i}}\)la vitesse de \(M_i\) dans [\(RG\)], et \(\overrightarrow{V_G}\) la vitesse du centre de masse dans [\(R\)]: \(\displaystyle{\overrightarrow{v_i}=\overrightarrow V'_i+\overrightarrow{V_G}}\)

Soit en appelant \(m\) la masse totale du système:

\(T=\sum_{i=1}^N\frac{1}{2}m_i(\overrightarrow{V'_i}+\overrightarrow V_G)^2=\frac{1}{2}m{V_G}^2+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N m_i {V_i'}^2+\overrightarrow{V_G}.\sum_{i=1}^Nm_i\overrightarrow{V'_i}\)

Mais d'après la définition du centre de masse:

\(\displaystyle{\sum_{i=1}^Nm_i\overrightarrow{GM_i}=\overrightarrow0\Longrightarrow\sum_{i=1}^Nm_i\overrightarrow{V'_i}=\overrightarrow0}\)

L'énergie cinétique du système s'écrit donc:

\(T=\frac{1}{2}m{V_G}^2 + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N m_i{V_i'}^2\)

Deuxième théorème de Koenig:

L'énergie cinétique d'un système matériel dans un référentiel \([R]\) est égale à l'énergie cinétique dans \([R]\) d'un point matériel situé au centre d'inertie \(G\) du système où serait concentrée toute sa masse, augmentée de l'énergie cinétique du système dans le référentiel \([RG]\) de son centre de masse.

L'animation ci-dessous représente un mouvement d'un système constitué de quatre masses identiques animées chacune de sa propre vitesse et dont le mouvement d'ensemble du centre d'inertie effectue une translation curviligne.

Il résulte du théorème de l'énergie cinétique que l'énergie cinétique a même dimension qu'un travail. Dans le système SI, l'énergie cinétique s'exprime comme le travail en Joule