Théorèmes généraux

On suppose intuitive la notion d'Univers matériel, dont on imagine extraire une particule arbitraire \(p\). Alors, à un instant donné, l'univers exerce sur cette particule un effort qui traduit l'interaction sur la particule du reste de l'Univers.

Expérimentalement, on se rend compte que les forces entre deux objets décroissent rapidement avec la distance qui les sépare. Si \(p\) est extrêmement éloigné du reste de l'Univers, on peut raisonnablement penser qu'il n'est soumis à aucune force.

On dit que \(p\) est un corps isolé.

Principe d'inertie

Il existe des repères, pour lesquels un corps isolé a un mouvement rectiligne uniforme lorsqu'ils sont munis de la chronologie privilégiée.

La simulation suivante montre un mouvement rectiligne uniforme correspondant à un galiléen muni de la chronologie privilégiée, mais avec des horloges différentes.

Alors on montre que la relation :"un espace est animé par rapport à un autre d'un mouvement de translation rectiligne uniforme" est une relation d'équivalence.

Deux espaces appartenant à cette classe d'équivalence dynamique ont donc l'un par rapport à l'autre une vitesse uniforme et une accélération nulle.

Dans deux espaces appartenant à cette même classe, un point \(P\) a la même accélération (en vertu de la composition des accélérations, on montre que les deux accélérations relatives dans les deux espaces sont identiques)

On définit ainsi le vecteur accélération d'un point par rapport à la classe d'espaces considérés. Cette classe est la classe de Galilée, composée des espaces galiléens, munis du temps galiléen, espaces dynamiquement équivalents, en translation uniforme les uns par rapport aux autres.

Pour tout observateur situé dans ces espaces dynamiquement équivalents de Galilée, l'accélération est un invariant.

La transformation qui nous fait passer des coordonnées d'espace-temps d'un galiléen [\(R_1\)] : (\(t, x,y,z\)) à celles d'un galiléen [\(R_2\)] : (\(t',x',y',z'\)) conserve les durées et les longueurs.

Si la vitesse de [\(R_2\)] par rapport à [\(R_1\)] est \(v_{\overrightarrow i}\)et que l'on suppose que les événements origines des deux repères coïncident, on a alors avec la même échelle pour les durées et les longueurs, la transformation galiléenne:

\(\begin{array}{lll}t'&=&t \\ x'&=&x-vt \\ y'&=&y \\ z'&=&z \end{array}\)

Ce qui précède est un principe d'existence d'espaces. Dans la pratique, les espaces que l'on prend pour "galiléens" dépendent du mouvement que l'on a à étudier.

Nous avons retrouvé , à l'aide de l'invariance galiléenne la Première loi de NEWTON, appelée encore Principe d'inertie: "Tout corps conserve son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme en l'absence de forces extérieures agissant sur lui."

Or, l'existence d'une force est la même question que l'existence d'une accélération.

Principe Fondamental de la Dynamique

Pour tout système matériel, la classe des espaces galiléens est telle que la résultante des forces extérieures est proportionnelle à l'accélération par rapport à cette classe.

Le coefficient de proportionnalité traduit l'inertie d'un corps à prendre une accélération, à changer de mouvement.

Il n'a jamais été possible de détecter une différence entre cette masse d'inertie et la masse gravitationnelle. On pose donc en principe que:

Principe d'équivalence

Le rapport des masses d'inertie et gravitationnelle est égal à l'unité.

Dans ce qui précède, on considère un système matériel unique; mais il faut également prendre en compte les interactions entre systèmes (ou entre sous-systèmes).

Soient \(S_1\textrm{ et }S_2\) deux systèmes matériels sans partie commune.

Considérons les efforts exercés par \(S_1 \textrm{ sur }S_2\) : \(\overrightarrow F_{12}\) et par \(S_2 \textrm{ sur }S_1\) : \(\overrightarrow F_{21}\)

Si nous appliquons successivement le principe fondamental à \(S_1,\textrm{à }S_2\) puis à l'ensemble (\(S_1+S_2\)), on obtient \(\displaystyle{\overrightarrow F_{12}+\overrightarrow F_{21}=\overrightarrow0}\)

Dans tout système matériel discret, la résultante des efforts intérieurs est nulle.

On peut dire également que \(\overrightarrow F_{12}=-\overrightarrow F_{21}\). On parle alors du Principe de l'action et de la réaction encore appelée Troisième loi de Newton .

Principe de l'action et de la réaction

Si deux corps sont en interaction : la force exercée par le premier corps sur le second est de même intensité, de même direction et de sens opposé à celle exercée par le second sur le premier.