Théorèmes généraux

Le principe d'inertie postule l'existence de référentiels galiléens.

Dans ces référentiels, on peut écrire le principe fondamental de la dynamique qui lie la résultante des forces appliquées à un mobile ponctuel à l'accélération de ce mobile :

\(\displaystyle{\overrightarrow F=m\overrightarrow{\gamma}}\)

Est non galiléen tout référentiel :

• dont l'origine est animée d'un mouvement qui n'est pas rectiligne uniforme dans un référentiel galiléen;

• et/ou dont les axes sont en rotation par rapport à ceux d'un référentiel galiléen.

En cinématique, nous avons étudié les règles de composition des vitesses et des accélérations dans un changement de référentiel sans distinction de nature.

En dynamique, les théorèmes généraux, \(\displaystyle{\frac{\textrm{d}\overrightarrow{p}}{\textrm{dt}}=\overrightarrow F_{ext}\textrm{ et }\frac{\textrm{d}\overrightarrow{\sigma_A}}{\textrm{dt}}=\overrightarrow N(A)_{ext}}\) n'ont de sens et ne peuvent s'exprimer que par rapport à des référentiels galiléens.

Il est donc indispensable, lorsqu'on a affaire à un référentiel non-galiléen, de chercher un galiléen par rapport auquel exprimer les théorèmes généraux et d'effectuer ensuite les transformations cinématiques nécessaires.

Soient donc un représentant de chacune de ces catégories: [\(R\)]:(\(O, x, y, z\)) galiléen et [\(R'\)]: (\(O', x', y', z'\) ) non galiléen ; soit un mobile \(M\) de masse \(m\) auquel est appliqué une force résultante \(\displaystyle{\overrightarrow F}\).

La force \(\displaystyle{\overrightarrow F}\) étant invariante par changement de référentiel, le mobile est soumis à la même force résultante dans [\(R\)] et [\(R'\)].

Appelons \(\displaystyle{\overrightarrow\gamma}\) l'accélération de \(M\) dans [\(R\)] et \(\displaystyle{\overrightarrow{\gamma'}}\) son accélération dans [\(R'\)].

Dans [\(R\)] galiléen, nous savons écrire le principe fondamental de la dynamique: \(\displaystyle{\overrightarrow F=m\overrightarrow\gamma}\)

Nous ne savons pas l'écrire dans [\(R'\)], mais nous connaissons un résultat de cinématique qui lie l'accélération \(\displaystyle{\overrightarrow\gamma}\) à \(\displaystyle{\overrightarrow\gamma'}\):

\(\displaystyle{\overrightarrow\gamma=\overrightarrow{\gamma'}+\overrightarrow\gamma_e+\overrightarrow\gamma_c}\)

On peut donc toujours écrire: \(\displaystyle{m\overrightarrow{\gamma'}+m\overrightarrow{\gamma_e}+m\overrightarrow{\gamma_c}=\overrightarrow F}\)

Il suffit ensuite de répondre à la demande : déterminer l'accélération par rapport à [\(R'\)] ou calculer les divers effets perçus par un observateur dans [\(R'\)] (d'entraînement ou de Coriolis), mais qui ne sauraient être dénommés "forces".

L'effet d'entrainement (\(\displaystyle{m\overrightarrow{\gamma_e}}\)) a pour expression cinématique:

\(\displaystyle{m\overrightarrow{\gamma_e}=m\overrightarrow{\gamma}(O')+m\overrightarrow{\omega_e}\wedge(\overrightarrow{\omega_e}\wedge\overrightarrow{{O'M}})+m\frac{\textrm{d}\overrightarrow{\omega_e}}{\textrm{dt}}\wedge\overrightarrow{O'M}}\)

Il dépend de la masse du mobile, du mouvement de \([R']\) par rapport à \(R\), mais aussi, en général, de la position du mobile; il ne dépend pas de la position du mobile si ( référentiel \([R']\) en translation non uniforme par rapport à \([R]\)). Contrairement aux forces appliquées qui sont invariantes par changement de référentiel, l'effet d'inertie d'entraînement varie par changement de référentiel ( non galiléen). L'effet d'entraînement est parfaitement sensible : le passager d'une voiture dans un virage ressent très bien l"effet" qui le pousse vers l'extérieur du virage, on ne peut néanmoins pas l'intituler "force" puisque la force n'est définie que dans un Galiléen.

L'effet de Coriolis (\(\displaystyle{m\overrightarrow\gamma_c}\)) pour expression cinématique \(\displaystyle{2m\overrightarrow{\omega_e}\wedge\overrightarrow{v'}(M)}\)

Il dépend de la masse du mobile, de sa vitesse dans [\(R'\)] et de la rotation de [\(R'\)] par rapport à \(R\).

En particulier il est nul si :

• \(\displaystyle{\overrightarrow{\omega_e}=\overrightarrow0},[R']\) en translation par rapport à \(R\)

• \(\displaystyle{\overrightarrow{v'}(M)=\overrightarrow{0}}\) ,\( M\) immobile dans [\(R'\)]

• \(\displaystyle{\overrightarrow{v'}(M)//\overrightarrow{\omega_e}}\), \(M\) se déplace parallèlement à l'axe de rotation de[\(R'\)].

  Contrairement aux forces appliquées, l"effet" de Coriolis (comme l"effet" d’entraînement) , n'est pas invariant par changement de référentiel : dans un référentiel donné, il dépend en général de la position de \(M\).

  Contrairement à l'effet d'entrainement, l'effet de Coriolis est difficile à ressentir .....ailleurs que dans le manège inertiel de la Cité des sciences à La Villette.

On admet que la direction dans laquelle un observateur du système solaire ( Soleil, planètes et satellites) voit une étoile est indépendante de l'observateur ;c'est ce que l'on nomme une direction stellaire. L'espace formé par un point et des directions stellaires (trois au minimum) définit un espace d'observateur.

Le principe à la base de la recherche de galiléens dans lesquels l'absence de force entraîne l'absence d'accélération est simple : réciproquement, la présence d'une accélération équivaut à la présence d'une force.

Le principe de la détection d'une force est donc celui de la détection d'une accélération et il faut chercher quel est le niveau d'isolement souhaité pour la description du mouvement à étudier.

a) Supposons le système solaire isolé il n'est soumis à aucun effort extérieur.

Alors, tout repère attaché au centre de gravité du système solaire et dont les directions d'axes sont des directions stellaires est un repère galiléen : c'est l'espace de Copernic.

Cela revient à négliger le mouvement du système solaire dans la Galaxie.

Nous confondons dans ce qui suit l'espace de Copernic et l'espace de Képler attaché au centre du Soleil, ce qui revient à négliger l'accélération du mouvement de translation du centre du soleil par rapport au centre du système solaire.

Si l'espace de Képler est supposé galiléen, les seules interactions prises en compte sont celles liées au Soleil; on peut dans cet espace de Képler, étudier le mouvement des planètes tel que Képler l'a fait.

b) Si l'on étudie les mouvements autour de la Terre ( soit l'intérieur d'une sphère de centre pris sur celui de la Terre et de rayon de l'ordre de 4 à 5 fois celui de la Terre), on considère le repère attaché au centre de la Terre et défini par les directions stellaires comme galiléen : c'est le référentiel de Léonard ou géocentrique qui permet de décrire les mouvements dans le domaine terrestre lorsqu'on néglige le mouvement orbital autour du Soleil. Par contre, le mouvement de rotation diurne est pris en compte.

c) Si l'on étudie les mouvements à la surface de la Terre, et que l'on puisse négliger le mouvement de rotation diurne, on prend pour espace galiléen, le laboratoire terrestre attaché au point de la surface terrestre et ayant pour directions les étoiles fixes.