Théorèmes généraux

En mécanique classique, la masse est constante en fonction du temps, on a donc, par rapport à un référentiel galiléen:

\(\displaystyle{\overrightarrow F=m\overrightarrow\gamma=m\frac{\textrm{d}\overrightarrow v}{\textrm dt}=\frac{\textrm{d}\overrightarrow{mv}}{\textrm{dt}}=\frac{\textrm{d}\overrightarrow p}{\textrm{dt}}}\)

Théorème de la quantité de mouvement pour un point matériel

Dans un référentiel galiléen, la résultante des forces appliquées à un point matériel est égale à la dérivée par rapport au temps du vecteur quantité de mouvement :

\(\displaystyle{\overrightarrow F=\frac{\textrm{d}\overrightarrow p}{\textrm{dt}}}\)

Par définition la quantité de mouvement du système de \(N\) points matériels dans le référentiel [\(R\)] est la somme (vectorielle) des quantités de mouvement de chacun des points matériels du système:

\(\displaystyle{\overrightarrow p=\sum_{i=1}^N\overrightarrow p_i=\sum_{i=1}^Nm_i\overrightarrow v_i}\)

Or, \(\displaystyle{\overrightarrow p=m\overrightarrow v_G}\)

car la quantité de mouvement d'un système matériel dans un référentiel \(R\) est égale à la quantité de mouvement d'un point matériel \(G\) confondu avec le centre de masse du système où serait concentrée toute la masse du système.

Dérivons la relation précédente par rapport au temps

\(\displaystyle{\frac{\textrm{d}\overrightarrow p}{\textrm{dt}}=m\frac{\textrm{d}\overrightarrow v_G}{\textrm{dt}}=m\overrightarrow{\gamma_G}}\)

En tenant compte du théorème du centre d'inertie:

\(\displaystyle{m\frac{\textrm{d}\overrightarrow v_G}{\textrm{dt}}=\overrightarrow F_{ext}\textrm{ ou }\frac{\textrm{d}\overrightarrow p}{\textrm{dt}}=\overrightarrow F_{ext}}\)

Théorème de la quantité de mouvement

Dans un référentiel galiléen la résultante des forces extérieures à un système est égale à la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement du système.

Un système est isolé s'il n'est soumis à aucune force extérieure, soit \(\displaystyle{\overrightarrow F_{ext}=\overrightarrow0}\), par suite:

\(\displaystyle{\frac{\textrm{d}\overrightarrow p}{\textrm{dt}}=\overrightarrow0\Longrightarrow\overrightarrow p=\overrightarrow{\textrm{Cste}}}\)

La quantité de mouvement d'un système mécanique isolé est constante.