Pour étudier la variation de \(D\) en fonction de \(i\), calculons la dérivée : \(\frac{dD}{di}=2-4\frac{dr}{di}\) or \(\sin i = n \sin r\) et en différentiant : \(\cos i di = n \cos r.dr\) d'où :
\(\frac{dD}{di}=2-4\frac{\cos i}{n\cos r}=2-4\frac{\sqrt{1-\sin^2i}}{\sqrt{n^2-\sin^2i}}\) (1 pt)
\(D\) passera par un extremum si : \(\frac{dD}{di}=0\) soit : \(\frac{\sqrt{1-\sin^2i}}{\sqrt{n^2-\sin^2i}}=\frac{1}2\) ou encore
\(4(1-\sin^2i)=n^2\sin^2i\) et enfin \(\sin^2i=\frac{4-n^2}3\) ; en faisant l'application numérique on obtient : \(i = 59,39°\cong60°\)
si \(i<60°\) alors \(\frac{dD}{di}<0\) et si \(i>60°\) alors \(\frac{dD}{di}>0\)
ce qui nous amène à mettre en évidence l'existence d'un minimum de déviation \(D_m\) correspondant à \(im = 60°\) et à \(rm = 40,5°\)
\(D_m\) vaut alors : \(D_m = 138°\) (2 pts)
Pour \(i = 40°\) la déviation vaut : \(D = 144°\)
pour \(i = 70°\) la déviation vaut : \(D = 140°\)
donc au voisinage de \(D_m\), des rayons tombant sous des incidences relativement différentes subissent la même déviation; ce qui conduit à une concentration de lumière dans une direction bien définie. (2 pts)
En lumière polychromatique, à chaque longueur d'onde correspond une valeur de l'indice \(n\) donc une valeur de \(D_m\) : on observe donc une dispersion de la lumière. (1 pt)