Foyers et distances focales

Pour déterminer la position des foyers de la lentille épaisse on peut appliquer les formule du dioptre sphérique en remarquant que le foyer image[1] F' de la lentille est le conjugué à travers le second dioptre du foyer image F'1 du premier dioptre et que le foyer objet[1] F a pour conjugué à travers le premier dioptre le foyer objet F2 du second dioptre.

On peut déterminer la vergence[2] C de la lentille épaisse en appliquant la formule de Gullstrand[3] des systèmes centrés en sachant que :

\(\overline{\mathrm S_1\mathrm F_1}=\frac{\mathrm n_0~\overline{\mathrm S_1\mathrm C_1}}{\mathrm n_0~-~\mathrm n}\)

\(\overline{\mathrm S_2\mathrm{F'}_2}=\frac{\mathrm n_0~\overline{\mathrm S_2\mathrm C_2}}{\mathrm n~-~\mathrm n_0}\)

\(\overline{\mathrm{PF}}~+~\overline{\mathrm{P'F'}}=0\)

on peut écrire :

\(\mathrm C=\frac{\mathrm n_0}{\mathrm{f'}}=(\mathrm n~-~\mathrm n_0)~\Big(\frac1{\overline{\mathrm S_1\mathrm C_1}}~-~\frac1{\overline{\mathrm S_2\mathrm C_2}}\Big)~+~\frac{(\mathrm n~-~\mathrm n_0)^2}{\mathrm n}~\frac{\overline{\mathrm S_1\mathrm S_2}}{\overline{\mathrm S_1\mathrm C_1}~\overline{\mathrm S_2\mathrm C_2}}\)

Seul le dernier terme dépend de l'épaisseur S1S2 et si cette épaisseur était négligeable comme c'est le cas pour une lentille mince[4], la vergence s'exprimerait par :

\(\mathrm C_0=\frac{\mathrm n_0}{\mathrm{f'}}=(\mathrm n~-~\mathrm n_0)~\Big(\frac1{\overline{\mathrm S_1\mathrm C_1}}~-~\frac1{\overline{\mathrm S_2\mathrm C_2}}\Big)\)

L'écart des vergences dû à l'épaisseur e = S1S2 est : \(\frac{\mathrm C~-~\mathrm C_0}{\mathrm C_0}=\frac{\mathrm e~(\mathrm n~-~\mathrm n_0)}{\mathrm n~(\mathrm R_2~-~\mathrm R_1)}\)

Pour une lentille équicourbe ( R1 = - R2 = R ) baignant dans l'air : n0 = 1 et d'indice n = 1,5 on obtient :

\(\frac{\mathrm C_0~-~\mathrm C}{\mathrm C_0}=\frac{\mathrm e}{6\mathrm R}\)

On pourra confondre C et C0 à 0,001 près si pour par exemple, R = 50 cm l'épaisseur e est inférieure à 3mm.