Analyse dimensionnelle : Équation Van der Waals
Partie
Question
Une mole d'un gaz, obéit à l'équation de Van der Waals :
\(\bigg(p + \frac{a}{V_{m}^{2}} \bigg)(V_{m} - b) = RT\)
où \(V_m\) est le volume molaire et \(T\) la température Kelvin.
Dans le cas où l'on exprime les pressions en atmosphères \(\textrm{(atm)}\) et les volumes en litres \(\textrm{(l)}\), quelles sont les unités des constantes \(a, b\) et \(R\) ?
Aide simple
On ne peut additionner ou soustraire que des grandeurs de même dimension.
Aide détaillée
Utiliser les relations entre les dimensions :
\(\textrm{dim }p = \textrm{dim } \frac{a}{V_{m}^{2}}\); \(\textrm{dim }b = \textrm{dim }V_m\) et \(\textrm{dim }( pV_m ) = \textrm{dim }RT\).
Sachant que \(\textrm{dim }V_m =\textrm{ l.mol}^{-1}\)
Solution simple
Les égalités entre les dimensions conduisent aux résultats :
\(\textrm{dim } a = \textrm{l}^2.\textrm{atm.mol}^{-2}\)
\(\textrm{dim } b = \textrm{l}.\textrm{mol}^{-1}\)
\(\textrm{dim } R = \textrm{l}.\textrm{atm.K}^{-1}.\textrm{mol}^{-1}\)
Solution détaillée
Le premier facteur a la dimension d'une pression d'où:
\(\textrm{dim }p = \frac{\textrm{dim }a}{(\textrm{dim }V_{m})^{2}} \Rightarrow \textrm{dim }a = (\textrm{dim }p) \times (\textrm{dim }V_{m})^{2}\)
\(\textrm{dim } a = \textrm{atm}.\textrm{l}^{2}.\textrm{mol}^{-2}\)
Le second facteur ayant la dimension d'un volume molaire :
\(\textrm{dim } b = \textrm{dim } V_m = \textrm{l.mol}^{-1}\)
et comme : \(\textrm{dim } ( pV_m ) = \textrm{dim } ( RT )\) nous en déduisons :
\(\textrm{dim }R = \frac{(\textrm{dim }p)\times (\textrm{dim } V_{m})}{\textrm{dim }T} = 1.\textrm{atm.K}^{-1}.\textrm{mol}^{-1}\)