Changement de grandeurs fondamentales
Partie
Question
La résistance \(R\) exercée par l'air sur une sphère, qui se déplace à la vitesse \(V\) est donnée par la formule : \(R = kSV^{2}\), dans laquelle \(k\) est une constante et \(S\) la surface de grand-cercle.
Quelles sont les dimensions de la constante \(k\) ?
Aide simple
La résistance de l'air est une force.
Aide détaillée
Formuler l'équation aux dimensions pour les grandeurs \(R, S,\) et \(V^{2}\).
Solution simple
De la relation \(R = k SV^{2}\) nous tirons \(k = \frac{R}{SV^{2}}\) et en déduisons : \(\textrm{dim }k = L^{-3}M\).
Solution détaillée
La résistance \(R\) a pour dimension : \(\textrm{dim } R = LMT^{-2}\).
L'équation aux dimensions pour \(S\) et \(V^{2}\) étant :
\(\textrm{dim }S = L^{2}\) et \(\textrm{dim } V^{2} = (LT^{-1})^{2} = L^{2}T^{-2}\), nous en déduisons que :
\(k = \frac{R}{SV^{2}} \Leftrightarrow \textrm{dim } k = \frac{\textrm{dim }R}{(\textrm{dim }S) \times (\textrm{dim } V^{2})} = \frac{LMT^{-2}}{L^{2}L^{2}T^{-2}}\)
soit : \(\textrm{dim }k = L^{-3}M\).
Question
Déterminer la valeur numérique de cette constante dans le système \(\textrm{C.G.S}\), connaissant sa valeur numérique dans le système \(\textrm{S.I.}\) : \(k = \mathrm{0,28}\) unité \(\textrm{S.I.}\) .
Aide simple
Poser \(k'\) la valeur numérique de la constante dans le système \(\textrm{C.G.S.}\) et exprimer le quotient \(\frac{k'}{k}\) en fonction des rapports des unités fondamentales de longueur et de masse .
Aide détaillée
Déterminer \(\frac{k'}{k}\) sachant que le rapport des nombres qui mesurent une même grandeur dans deux unités différentes est égal à l'inverse de ces unités.
Solution simple
D'après la définition précédente et l'utilisation de l'équation aux dimensions de la constante \(k,\) nous pouvons écrire la relation :
\(\frac{k'}{k} = \bigg( \frac{l}{l'}\bigg)^{-3} \times \bigg(\frac{m}{m'}\bigg) = 10^{-3}\) et \(k' = 10^{-3}~ k = \mathrm{0,28} \times 10^{-3}\) unité \(\textrm{C.G.S.}\)
Solution détaillée
Nous pouvons déterminer le rapport \(\frac{k'}{k}\) en fonction des rapports \(\frac{l}{l'}\) et \(\frac{m}{m'}\) des unités fondamentales de longueur et de masse, en utilisant l'équation aux dimensions de la constante \(k\).
De l'équation aux dimensions \(\textrm{dim }k = L^{-3}M\) nous pouvons écrire la relation entre les unités :
\(\frac{k'}{k} = \bigg(\frac{l}{l'} \bigg)^{-3} \times \bigg(\frac{m}{m'} \bigg) \Leftrightarrow \frac{k'}{k} = \bigg(\frac{1 m}{1 cm} \bigg)^{-3} \times \bigg(\frac{1 kg}{1 g} \bigg) = (10^{2})^{-3} \times 10^{3} = 10^{-3}\)
D'où nous tirons : \(k' = k \times 10^{-3} = \mathrm{0,28} \times 10^{-3}\) unité \(\textrm{C.G.S.}\)