Changement d'unités

Partie

Question

On choisit comme grandeurs de base, la force \(F\), la puissance \(P\) et la fréquence \(N\) et l'on pose \(\textrm{dim }F = F\), \(\textrm{dim }P = P\) et \(\textrm{dim }N = N\).

Q1 : Exprimer les dimensions \(L, ~M\) et \(T\) des grandeurs de base, \(L, ~M\) et \(T\) du système \(\textrm{S I}\) en fonction des dimensions \(F, ~P\) et \(N\) de ces nouvelles grandeurs de base.

Aide simple

Exprimer les dimensions des grandeurs \(F, ~P\) et \(N\) en fonction des dimensions \(L,~ M\) et \(T\) du système \(\textrm{S I}\).

Aide détaillée

En déduire les expressions des dimensions \(L, ~M\) et \(T\) en fonction de \(F, ~P\) et \(N\).

Solution simple

La résolution des relations précédentes conduit au résultat suivant :

\(\textrm{dim }L = L = F^{-1} P~ N^{-1}\)

\(\textrm{dim }M = M = F^{2} ~P^{-1}~ N^{-1}\)

\(\textrm{dim }T = T = N^{-1}\)

Solution détaillée

Dans le système \(\textrm{S I,}\) les grandeurs \(F, ~P\) et \(N\) ont pour dimensions :

\(\textrm{dim }F = F = L~M~T^{-2}\); \(\textrm{dim }P = P = L^{2}~M~T^{-3}\) ; \(\textrm{dim }N = N = T^{-1}\)

De ces relations, nous exprimons les dimensions \(L,~ M\) et \(T\) en fonction de \(F, ~P\) et \(N\).

\(\textrm{dim }N =N = T^{-1}\) soit \(\textrm{dim } T= T = N^{-1}\)

\(\frac{\textrm{dim }P}{\textrm{dim }F} = \frac{P}{F} = \frac{L^{2}MT^{-3}}{LMT^{-2}} = LT^{-1} = L~N\) soit \(\textrm{dim }L = L = F^{-1}P~N^{-1}\)

et

\(\textrm{dim }M = M = \frac{\textrm{dim }F}{LT^{-2}} = F L^{-1} T^{2} = F \big[F^{-1}PN^{-1}\big]^{-1}[N^{-1}]^{2}\)

soit \(\textrm{dim }M = M = F^{2}P^{-1}N^{-1}\)

Question

En déduire les dimensions de la constante de Gravitation \(G\) définie par l'expression des forces d'interaction s'exerçant entre deux masses ponctuelles \(m_1\) et \(m_2\) distantes de \(r\) :

\(\overrightarrow {F} _{1 \to 2} = - G ~\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}~ \overrightarrow{u}_{1 \to 2}\)

(Loi de Newton).

Aide simple

Exprimer la constante de gravitation \(G\) et sa dimension dans le système \(\textrm{SI}\).

Aide détaillée

Remplacer les dimensions \(L, ~M\) et \(T\) du système \(\textrm{S I}\) par les nouvelles

dimensions \(F, ~P\) et \(N\).

Solution simple

De la relation :

\(\textrm{dim }G = G = \frac{ (\textrm{dim }F) \times (\textrm{dim } r)^{2}}{(\textrm{dim }m_{1}) \times (\textrm{dim } m_{2})}\)

nous en déduisons :

\(\textrm{dim } G = G = F^{-5} P^{-4}\)

Solution détaillée

De la loi de Newton, nous avons :

\(\textrm{dim }G = G = \frac{ (\textrm{dim }F) \times (\textrm{dim } r)^{2}}{(\textrm{dim }m_{1}) \times (\textrm{dim } m_{2})} = \frac{F~[F^{-1}~P~N^{-1}]^{2}}{[F^{2}~P^{-1}~N^{-1}]^{2}} = \frac{F~F^{-2}~P^{2}~N^{-2}}{F^{4}~P^{-2}~N^{-2}}\)

soit \(\qquad\) \(\textrm{ dim }G = G = F^{-5}~P^{-4}\)