Dimension et unité d'une grandeur
Partie
Question
La loi de Poiseuille définit le débit volumique \(q_{v}\) d'un liquide de coefficient de viscosité \(\eta\), dans un cylindre de rayon \(R\) et de longueur \(l\) par la relation : \(q_{v} = \frac{\pi ~R^{4} \Delta P}{8 \eta l}\)
où \(\Delta P = P_{E} - P_{S}\) est la difféence de pression entre l'entrée \((P_{E})\)et la sortie \((P_{S})\).
Déterminez la dimension et l'unité du coefficient de viscosité \(\eta\).
Aide simple
Extraire le coefficient \(\eta\) et exprimer la \(\textrm{dim }\eta\) en fnctions des dimensions des autres grandeurs.
Aide détaillée
La détermination de \(\textrm{dim }\eta\) exige la \(\textrm{dim }q_{v}\) et la \(\textrm{dim }\Delta P\) sachant que le débit volumique \(q_{v}\) représente le volume de liquide écoulé à travers une surface par unité de temps et la pression, une force par unité de surface.
Solution simple
Sachant que \(\textrm{dim } q_{v} = L^{3} ~T^{-1}\) et \(\textrm{dim } \Delta P = M ~L^{-1} ~T^{-2}\)
Nous en déduisons :\(\textrm{dim } \eta = L^{-1} M ~T^{-1}\) et unité de \(\eta = \textrm{kg.m}^{-1}.\textrm{s}^{-1}\)
Solution détaillée
Puisque d'une part : \(q_{v} = \frac{\textrm{volume}}{\textrm{temps}}\) , \(\textrm{dim }q_{v} = L^{3}~ T^{-1}\)
et \(\Delta P = \frac{\textrm{Force}}{\textrm{Surface}},~ \textrm{dim } \Delta P = \frac{MLT^{-2}}{L^{2}} = M~L^{-1}T^{-2}\)
D'autre part : \(\textrm{dim } R = L\) ; \(\textrm{dim l} = L\)
Nous en déduisons : \(\eta = \frac{\pi ~R^{4} \Delta P }{8 ~q_{v} l}\) et \(\textrm{dim } \eta = \frac{(\textrm{dim }R )^{4}~ (\textrm{dim } \Delta P)}{( \textrm{dim } q_{v} )~ (\textrm{dim } l)}\)
\(\textrm{dim } \eta = \frac{L^{4} ~M ~L^{-1} ~T^{-2}}{L^{3}~T^{-1}~L} = L^{-1} ~M~ T^{-1}\)
D'où l'unité de \(\eta : \textrm{kg.m}^{-1}.\textrm{s}^{-1}\)