Définitions [Vecteurs]

Définitions

On appelle produit mixte entre trois vecteurs $\overrightarrow{U}$ , $\overrightarrow{V}$ et $\overrightarrow{W}$ , le scalaire défini par :

$\Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big) = \Big(\overrightarrow{U} \wedge \overrightarrow{V} \Big) \cdot \overrightarrow{W}$

Posons $\overrightarrow{p} = \overrightarrow{U} \wedge \overrightarrow{V}$

$\Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W}\Big) = \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{W} = \overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OC}$

Si $H$ désigne la projection orthogonale de $C$ sur $OD$ alors :

$\begin{array}{ll} \Big\arrowvert \Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big) \Big\arrowvert &=\Big\Arrowvert \overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OC} \Big\Arrowvert = \Big\Arrowvert \overrightarrow{OD}\Big\Arrowvert ~\Big\Arrowvert \overrightarrow{OC} \Big\Arrowvert ~\Big\arrowvert\cos\Big(\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OC}\Big)\Big\arrowvert \\ &= \Big\Arrowvert \overrightarrow{OD}\Big\Arrowvert~\Big\Arrowvert \overrightarrow{OH}\Big\Arrowvert \end{array}$

avec $\Big\Arrowvert\overrightarrow{OD}\Big\Arrowvert = \Big\Arrowvert\overrightarrow {U} \wedge \overrightarrow{V}\Big\Arrowvert$ aire du parallélogramme construit sur $\Big(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\Big)$ et donc :

$\Big\arrowvert\Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big)\Big\arrowvert$ : Volume du parallélépipède d'arêtes $OA$ , $OB$ et $OC$

Dans la base orthonormée directe $\Big(\vec{i},\vec{j},\vec{k} \Big)$ le produit mixte de trois vecteurs :

$\overrightarrow{U} = U_{x} \vec{i} + U_{y} \vec{j} + U_{z} \vec{k}$

$\overrightarrow{V} = V_{x} \vec{i} + V_{y} \vec{j} + V_{z} \vec{k}$

$\overrightarrow{W} = W_{x} \vec{i} + W_{y} \vec{j} + W_{z} \vec{k}$

s'exprime par le scalaire :

$\begin{array}{ll} \Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big) &=\Big( \overrightarrow{U} \wedge \overrightarrow{V}\Big) \cdot \overrightarrow{W} \\ &= \Big(U_{y}V_{z} - U_{z}V_{y} \Big) W_{x} +\Big(U_{z}V_{x} - U_{x}V_{z} \Big) W_{y} +\Big(U_{x}V_{y} - U_{y}V_{x} \Big) W_{z} \end{array}$

Il est possible de retrouver ce résultat par le développement d'un déterminant d'ordre $3$ , dont les colonnes contiennent respectivement les composantes des vecteurs $\overrightarrow{U}$ , $\overrightarrow{V}$ et $\overrightarrow{W}$ .

Démonstration :

Calcul du produit mixte des vecteurs $\Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big)$

$\overset{\begin{array}{lcr}\overrightarrow{U}~& \overrightarrow{V} &~\overrightarrow{W} \end{array}}{\left\arrowvert\begin{array}{rcl} U_{x} & V_{x} & W_{x} \\ U_{y} & V_{y} & W_{y} \\ U_{z} & V_{z} & W_{z} \end{array}\right\arrowvert}$

Le déterminant d'ordre $3$ peut se calculer avec la règle de Sarrus^[1]

$\Delta = U_{x}V_{y}W_{z} + V_{x}W_{y}U_{z} +U_{y}V_{z}W_{x} -U_{z}V_{y}W_{x} -U_{y}V_{x}W_{z} -U_{x}V_{z}W_{y}$

$\Delta = \Big(U_{y}V_{z} - U_{z}V_{y} \Big) W_{x} +\Big(U_{z}V_{x} - U_{x}V_{z} \Big) W_{y} +\Big(U_{x}V_{y} - U_{y}V_{x} \Big) W_{z}$

Exemple : Calcul de produit mixte

Soit $\overrightarrow{U}(3,1,2)$ , $\overrightarrow{V}(1,1,1)$ et $\overrightarrow{W}(1,2,1)$ . Calculer $\Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big)$ .

Par définition du produit mixte : $\Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big) =\Big( \overrightarrow{U} \wedge \overrightarrow{V}\Big) \cdot \overrightarrow{W}$

$\overrightarrow{U} \wedge \overrightarrow{V} = \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right. \wedge \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right. = \left[ \begin{array}{c} 1 - 2\\ -(2-3) \\ 3-1 \end{array} \right. = \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right.$

d'où

$\Big(\overrightarrow{U} \wedge \overrightarrow{V}\Big) \cdot \overrightarrow{W} = \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right. \cdot \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right. = (-1)(1) + (1)(2) + (2)(1) = 3$