Propriétés du produit mixte

Non commutativité : \(\Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big) = - \Big(\overrightarrow{W},\overrightarrow{V},\overrightarrow{U} \Big)\)

Multilinéarité par rapport à chacun des vecteurs : cas du vecteur \(\overrightarrow{U}\)

\(\left\{\begin{array}{lll} \Big(\overrightarrow{U_{1}} + \overrightarrow{U_{2}},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big) = \Big(\overrightarrow{U_{1}},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big) + \Big(\overrightarrow{U_{2}},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big) \\ \Big(\alpha \overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W}\Big) = \alpha \Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W}\Big)\end{array}\right.\)

Le produit mixte est invariant :

par permutation circulaire des trois vecteurs : \(\Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big) =\Big(\overrightarrow{V},\overrightarrow{W},\overrightarrow{U} \Big) = \Big(\overrightarrow{W},\overrightarrow{U},\overrightarrow{V} \Big)\)

par échange des symboles \(\wedge\) et \(\cdot\) : \(\Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big) = \Big(\overrightarrow{U} \wedge \overrightarrow{V}\Big) \cdot \overrightarrow{W} = \overrightarrow{U} \cdot \Big(\overrightarrow{V} \wedge \overrightarrow{W}\Big)\)

Les vecteurs \(\overrightarrow{U}\), \(\overrightarrow{V}\) et \(\overrightarrow{W}\) étant non nuls, le produit mixte \(\Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big)\) est nul, si et seulement si, les vecteurs \(\overrightarrow{U}\), \(\overrightarrow{V}\) et \(\overrightarrow{W}\) sont coplanaires.

ExempleVecteurs linéairement dépendants

Soit les \(3\) vecteurs \(\overrightarrow{U}\), \(\overrightarrow{V}\) et \(\overrightarrow{W}\) linéairement dépendants :

\(\overrightarrow{W} = \alpha \overrightarrow{U} + \beta \overrightarrow{V}\)

\(\begin{array}{ll} \Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big) &=\Big( \overrightarrow{U}, \overrightarrow{V}, \alpha \overrightarrow{U} + \beta \overrightarrow{V}\Big) = \Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\alpha \overrightarrow{U} \Big) + \Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\beta \overrightarrow{V} \Big) \\ &= \alpha \Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{U} \Big) + \beta \Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{V} \Big) = 0 \end{array}\)

Une condition nécessaire et suffisante pour que trois vecteurs soient linéairement dépendants est que leur produit mixte soit nul.

Cas particulier :

Si le produit mixte contient deux vecteurs identiques alors celui-ci est nul : \(\Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{U},\overrightarrow{W} \Big) = 0\).

Exemple

La relation de Lorentz exprime la force magnétique \(\overrightarrow{F}\) exercée sur une particule de charge électrique \(q\), animée d'une vitesse \(\overrightarrow{v}\) dans un champ magnétique \(\overrightarrow{B}\):

\(\overrightarrow{F} = q \overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{B}\)

La force de Lorentz a toujours une puissance nulle car la force \(\overrightarrow{F}\) est constamment perpendiculaire au vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}\) de la particule :

\(\mathcal{P} = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} = \Big( q \overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{B}\Big) \cdot \overrightarrow{v} = q\Big(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B},\overrightarrow{v}\Big) = 0\)

Dans une base orthonormée directe \(\Big(\vec{i},\vec{j},\vec{k} \Big)\) , nous avons :

\(\Big(\vec{i} \wedge \vec{j}\Big) \cdot \vec{k}  = \Big(\vec{j} \wedge \vec{k}\Big) \cdot \vec{i}  = \Big(\vec{k} \wedge \vec{i}\Big) \cdot \vec{j} = 1\)

\(\Big(\vec{j} \wedge \vec{i}\Big) \cdot \vec{k}  = \Big(\vec{k} \wedge \vec{j}\Big) \cdot \vec{i}  = \Big(\vec{i} \wedge \vec{k}\Big) \cdot \vec{j} = -1\)