Propriétés du produit mixte [Vecteurs]

Propriétés du produit mixte

Non commutativité : $\Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big) = - \Big(\overrightarrow{W},\overrightarrow{V},\overrightarrow{U} \Big)$

Multilinéarité par rapport à chacun des vecteurs : cas du vecteur $\overrightarrow{U}$

$\left\{\begin{array}{lll} \Big(\overrightarrow{U_{1}} + \overrightarrow{U_{2}},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big) = \Big(\overrightarrow{U_{1}},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big) + \Big(\overrightarrow{U_{2}},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big) \\ \Big(\alpha \overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W}\Big) = \alpha \Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W}\Big)\end{array}\right.$

Le produit mixte est invariant :

par permutation circulaire des trois vecteurs : $\Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big) =\Big(\overrightarrow{V},\overrightarrow{W},\overrightarrow{U} \Big) = \Big(\overrightarrow{W},\overrightarrow{U},\overrightarrow{V} \Big)$

par échange des symboles $\wedge$ et $\cdot$ : $\Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big) = \Big(\overrightarrow{U} \wedge \overrightarrow{V}\Big) \cdot \overrightarrow{W} = \overrightarrow{U} \cdot \Big(\overrightarrow{V} \wedge \overrightarrow{W}\Big)$

Les vecteurs $\overrightarrow{U}$ , $\overrightarrow{V}$ et $\overrightarrow{W}$ étant non nuls, le produit mixte $\Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big)$ est nul, si et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{U}$ , $\overrightarrow{V}$ et $\overrightarrow{W}$ sont coplanaires.

Exemple : Vecteurs linéairement dépendants

Soit les $3$ vecteurs $\overrightarrow{U}$ , $\overrightarrow{V}$ et $\overrightarrow{W}$ linéairement dépendants :

$\overrightarrow{W} = \alpha \overrightarrow{U} + \beta \overrightarrow{V}$

$\begin{array}{ll} \Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W} \Big) &=\Big( \overrightarrow{U}, \overrightarrow{V}, \alpha \overrightarrow{U} + \beta \overrightarrow{V}\Big) = \Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\alpha \overrightarrow{U} \Big) + \Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\beta \overrightarrow{V} \Big) \\ &= \alpha \Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{U} \Big) + \beta \Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{V} \Big) = 0 \end{array}$

Une condition nécessaire et suffisante pour que trois vecteurs soient linéairement dépendants est que leur produit mixte soit nul.

Cas particulier :

Si le produit mixte contient deux vecteurs identiques alors celui-ci est nul : $\Big(\overrightarrow{U},\overrightarrow{U},\overrightarrow{W} \Big) = 0$ .

Exemple :

La relation de Lorentz exprime la force magnétique $\overrightarrow{F}$ exercée sur une particule de charge électrique $q$ , animée d'une vitesse $\overrightarrow{v}$ dans un champ magnétique $\overrightarrow{B}$ :

$\overrightarrow{F} = q \overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{B}$

La force de Lorentz a toujours une puissance nulle car la force $\overrightarrow{F}$ est constamment perpendiculaire au vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ de la particule :

$\mathcal{P} = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} = \Big( q \overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{B}\Big) \cdot \overrightarrow{v} = q\Big(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B},\overrightarrow{v}\Big) = 0$

Dans une base orthonormée directe $\Big(\vec{i},\vec{j},\vec{k} \Big)$ , nous avons :

$\Big(\vec{i} \wedge \vec{j}\Big) \cdot \vec{k} = \Big(\vec{j} \wedge \vec{k}\Big) \cdot \vec{i} = \Big(\vec{k} \wedge \vec{i}\Big) \cdot \vec{j} = 1$

$\Big(\vec{j} \wedge \vec{i}\Big) \cdot \vec{k} = \Big(\vec{k} \wedge \vec{j}\Big) \cdot \vec{i} = \Big(\vec{i} \wedge \vec{k}\Big) \cdot \vec{j} = -1$