Produit scalaire
Partie
Question
Dans un repère cartésien orthonormé \(\Big(O;\overrightarrow{e_{x}}, \overrightarrow{e_{y}}\Big)\),on donne les trois points \(A(1,7) ;B(8,3)\) et \(C\Bigg(\frac{9}{2}, 1 \Bigg)\) formant le triangle \(ABC\).
Déterminer les composantes et les normes des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
![](../res/ch2-ex2-fig1.gif)
Aide simple
Utiliser la relation de Chasles pour les composantes et le théorème de Pythagore pour les modules.
Aide détaillée
Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\)
Théorème de Pythagore : \(\Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \Big\Arrowvert = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}\)
Solution simple
Par application de la relation de Chasles ,successivement aux trois vecteurs,
Nous obtenons :
\(\overrightarrow{AB} = (7,-4); ~\overrightarrow{AC} = (\frac{7}{2},-6) ; ~\overrightarrow{BC} = (-\frac{7}{2},-2)\)
et pour les modules :
\(\Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \Big\Arrowvert = \sqrt{65} ~;~ \Big\Arrowvert \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert = \frac{\sqrt{193}}{2} ~;~ \Big\Arrowvert \overrightarrow{BC} \Big\Arrowvert = \frac{\sqrt{65}}{2}\)
Solution détaillée
Application de la relation de Chasles pour les composantes :
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} =\left(\begin{array}{c} 8 \\\\ 3 \end{array} \right) - \left(\begin{array}{c} 1 \\\\ 7 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} 7 \\\\ -4 \end{array} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = 7 ~\overrightarrow{e_{x}} - 4~\overrightarrow{e_{y}}\)
\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} =\left(\begin{array}{c} \frac{9}{2} \\\\ 3 \end{array} \right) - \left(\begin{array}{c} 1 \\\\ 7 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} \frac{7}{2} \\\\ -6 \end{array} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow{AC} = \frac{7}{2} ~\overrightarrow{e_{x}} - 6~\overrightarrow{e_{y}}\)
\(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} =\left(\begin{array}{c} \frac{9}{2} \\\\ 3 \end{array} \right) - \left(\begin{array}{c} 8 \\\\ 3 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} -\frac{7}{2} \\\\ -2 \end{array} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow{BC} = -\frac{7}{2} ~\overrightarrow{e_{x}} - 2~\overrightarrow{e_{y}}\)
Normes (ou modules) de ces vecteurs :
\(\Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \Big\Arrowvert = \sqrt{(7)^{2} + (-4)^{2}} = \sqrt{65} \approx \mathrm{8,06}\)
\(\Big\Arrowvert \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert = \sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^{2} + (-2)^{2}} = \frac{\sqrt{193}}{2} \approx \mathrm{6,95}\)
\(\Big\Arrowvert \overrightarrow{BC} \Big\Arrowvert = \sqrt{\left(-\frac{7}{2}\right)^{2} + (-6)^{2}} = \frac{\sqrt{65}}{2} \approx \mathrm{4,03}\)
Question
Dans un repère cartésien orthonormé \(\Big(O;\overrightarrow{e_{x}}, \overrightarrow{e_{y}}\Big)\),on donne les trois points \(A(1,7) ;B(8,3)\) et \(C\Bigg(\frac{9}{2}, 1 \Bigg)\) formant le triangle \(ABC\).
Par application d'une relation métrique dans un triangle quelconque ,calculer l'angle intérieur au sommet \(A\) du triangle \(ABC\)
![](../res/ch2-ex2-fig2.gif)
Aide simple
Une relation métrique dans un triangle quelconque fait intervenir les carrés des cotés du triangle
Aide détaillée
Si \(a ,~b\) et \(c\) sont respectivement les modules des cotés opposés aux angles de sommets \(A ,~ B\) et \(C\) du triangle ,alors \(a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc ~\cos \hat{A}\)
Solution simple
En appliquant la relation métrique ,nous trouvons :
\(\cos \hat{A} = \mathrm{0,86} \Leftrightarrow \hat{A} \approx 30^{\circ}\)
Solution détaillée
La relation métrique : \(a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc ~\cos \hat{A}\)
Conduit à : \(\cos \hat{A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}\)
avec
\(a^{2} = \Big\Arrowvert \overrightarrow{BC} \Big\Arrowvert ^{2} = \frac{65}{4}\)
\(b^{2} = \Big\Arrowvert \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert ^{2} = \frac{193}{4}\)
\(c^{2} = \Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \Big\Arrowvert ^{2} = 65\)
d'où \(\cos \hat{A} = \frac{\frac{193}{4} + 65 - \frac{65}{4}}{2 \times \frac{\sqrt{193}}{2} \times \sqrt{65}} = \frac{388}{448} = \mathrm{0,866}\)
et \(\hat{A} \approx 30^{\circ}\)
Question
Dans un repère cartésien orthonormé \(\Big(O;\overrightarrow{e_{x}}, \overrightarrow{e_{y}}\Big)\),on donne les trois points \(A(1,7) ;B(8,3)\) et \(C\Bigg(\frac{9}{2}, 1 \Bigg)\) formant le triangle \(ABC\).
Exprimer la valeur de l'angle \(\hat{B}\) à partir de la définition du produit scalaire. En déduire l'angle \(\hat{C}\).
![](../res/ch2-ex2-fig3.gif)
Aide simple
Le produit scalaire peut s'exprimer par une relation faisant intervenir le cosinus de l'angle
\(\hat{B} = (\overrightarrow{BA} , \overrightarrow{BC})\).
Aide détaillée
Par définition du produit scalaire de deux vecteurs \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{BC}\) nous avons :
\(\overrightarrow{BA} \bullet \overrightarrow{BC} = \Big\Arrowvert \overrightarrow{BA} \Big\Arrowvert \Big\Arrowvert \overrightarrow{BC} \Big\Arrowvert \cos (\overrightarrow{BA} , \overrightarrow{BC})\)
Solution simple
D'après la définition du produit scalaire des vecteurs \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{BC}\) ,nous tirons :
\(\cos \hat{B} = \cos (\overrightarrow{BA} , \overrightarrow{BC}) = \frac{\overrightarrow{BA} \bullet \overrightarrow{BC}}{\Big\Arrowvert \overrightarrow{BA} \Big\Arrowvert \Big\Arrowvert \overrightarrow{BC} \Big\Arrowvert} = \frac{33}{65} = \mathrm{0,507} \Leftrightarrow \hat{B} \approx 60^{\circ}\)
D'où \(\hat{C} = 180^{\circ} - (\hat{A} + \hat{B}) \Leftrightarrow \hat{C} \approx 90^{\circ}\)
Solution détaillée
D'après la définition du produit scalaire des deux vecteurs \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{BC}\) nous tirons la valeur du \(\cos \hat{B}\).
\(\cos \hat{B} = \cos (\overrightarrow{BA} , \overrightarrow{BC}) = \frac{\overrightarrow{BA} \bullet \overrightarrow{BC}}{\Big\Arrowvert \overrightarrow{BA} \Big\Arrowvert \Big\Arrowvert \overrightarrow{BC} \Big\Arrowvert}\)
avec : \(\overrightarrow{BA} \bullet \overrightarrow{BC} = \left(\begin{array}{c} -7 \\ +4 \end{array}\right)\bullet \left(\begin{array}{c} -\frac{7}{2} \\\\ -2 \end{array}\right) = \frac{49}{2} - 8 = \frac{33}{2}\) et
\(\Big\Arrowvert \overrightarrow{BA} \Big\Arrowvert \Big\Arrowvert \overrightarrow{BC} \Big\Arrowvert = \sqrt{65} \times \frac{\sqrt{65}}{2} = \frac{65}{2}\)
d'où \(\cos \hat{B} = \frac{33}{65} = \mathrm{0,507} \Leftrightarrow \hat{B} \approx 60^{\circ}\)
et \(\hat{C} = 180^{\circ} - (\hat{A} + \hat{B}) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 60^{\circ}) \Leftrightarrow \hat{C} \approx 90^{\circ}\)
Le triangle \(ABC\) est un demi triangle équilatéral .
Question
Dans un repère cartésien orthonormé \(\Big(O;\overrightarrow{e_{x}}, \overrightarrow{e_{y}}\Big)\),on donne les trois points \(A(1,7) ;B(8,3)\) et \(C\Bigg(\frac{9}{2}, 1 \Bigg)\) formant le triangle \(ABC\).
A partir du produit scalaire, retrouver l'équation cartésienne du cercle \((C_{0})\) de diamètre \(AB\) dans le plan \(xOy\) et vérifier, aux approximations prés, que le sommet \(C\) du triangle \(ABC\) appartient à ce cercle .
![](../res/ch2-ex2-fig4.gif)
Aide simple
Pour un point \(M(x,y) \in C_{0}\),écrire une relation entre les vecteurs \(\overrightarrow{MA}\) et \(\overrightarrow{MB}\).
Aide détaillée
Si le point \(M(x,y) \in C_{0}\) alors les vecteurs \(\overrightarrow{MA}\) et \(\overrightarrow{MB}\) sont perpendiculaires et \(\overrightarrow{MA} \bullet \overrightarrow{MB} = 0\)
Solution simple
Pour un point \(M(x,y) \in C_{0}\) nous avons :
\(\overrightarrow{MA} \bullet \overrightarrow{MB} = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 9x - 10y + 29 = 0\)
ou \(\left(x - \frac{9}{2} \right)^{2} + (y-5)^{2} = \left(\frac{\sqrt{65}}{2} \right)^{2}\)
Solution détaillée
Pour un point \(M(x,y) \in C_{0}\) nous avons :
\(\overrightarrow{MA} \bullet \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OM}) \bullet (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OM}) = \left(\begin{array}{cc} 1 & -x \\ 7 & -y \end{array}\right) \bullet \left(\begin{array}{cc} 8 & -x \\ 3 & -y \end{array}\right) = 0\)
\(\Leftrightarrow (1-x)~(8-x) + (7-y)~(3-y) = 0\)
\(\Leftrightarrow 8-9x + x^{2} + 21 - 10y + y^{2} = 0\)
\(\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 9x - 10y + 29 = 0\)
ou \(\left(x - \frac{9}{2} \right)^{2} + (y-5)^{2} = \left(\frac{\sqrt{65}}{2} \right)^{2}\) de la forme \((x-x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = R^{2}\)
avec \(x_{0} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{9}{2}\) et \(y_{0} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = 5\) les coordonnées du centre du cercle .
Remarque : Le triangle \(ABC\) étant approximativement demi-équilatéral , le sommet \(C\) d'angle \(90^{\circ}\), doit appartenir au cercle \((C_0)\) d'où :
\(x^{2} + y^{2} - 9x - 10y + 29 = \frac{81}{4} + 1 - \frac{81}{2} - 10 + 29 = -\mathrm{0,25} \approx 0\)