Le double produit vectoriel

Partie

Question

Soient trois vecteurs \(\overrightarrow{V_{1}},\overrightarrow{V_{2}},\overrightarrow{V_{3}}\) dans un repère orthonormé direct \(\left(O ;\vec{i},\vec{j},\vec{k} \right)\).

On posera : \(\overrightarrow{V_{\alpha}} = x_{\alpha} \vec{i} + y_{\alpha} \vec{j} + z_{\alpha} \vec{k}\) avec \(\alpha\in\{1,2,3\}\)

Démontrer, en utilisant les coordonnées \(x_{\alpha}\),\(y_{\alpha}\) et \(z_{\alpha}\), la formule du double produit vectoriel :

\(\overrightarrow{V_{1}} \wedge \left(\overrightarrow{V_{2}} \wedge \overrightarrow{V_{3}}\right) = \left(\overrightarrow{V_{1}} \bullet \overrightarrow{V_{3}}\right) \overrightarrow{V_{2}} - \left(\overrightarrow{V_{1}} \bullet\overrightarrow{V_{2}} \right)\overrightarrow{V_{3}}\)

Aide simple

Exprimer les produits vectoriels \(\overrightarrow{V_{2}} \wedge \overrightarrow{V_{3}}\) puis \(\overrightarrow{V_{1}} \wedge \left(\overrightarrow{V_{2}} \wedge \overrightarrow{V_{3}}\right)\) pour obtenir le terme de gauche de l'égalité.

Aide détaillée

A partir du résultat obtenu, rassembler les termes pour obtenir la forme de la décomposition du terme de droite de l'égalité.

Solution simple

Après décomposition et factorisation des termes nous obtenons :

\(\left(\overrightarrow{V_{2}} \wedge \overrightarrow{V_{3}}\right) = (y_{2}z_{3} - y_{3}z_{2}) \vec{i} + (z_{2}x_{3} - z_{3}x_{2}) \vec{j} + (x_{2}y_{3} - x_{3}y_{2} ) \vec{k}\)

\(\overrightarrow{V_{1}} \wedge \left(\overrightarrow{V_{2}} \wedge \overrightarrow{V_{3}}\right) =(x_{1} x_{3} + y_{1}y_{3} + z_{1}z_{3}) \left(x_{2}\vec{i} + y_{2} \vec{j} + z_{2} \vec{k} \right) - (x_{1} x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}) \left(x_{3}\vec{i} + y_{3} \vec{j} + z_{3} \vec{k} \right)\)

\( = \left(\overrightarrow{V_{1}} \bullet \overrightarrow{V_{3}}\right) \overrightarrow{V_{2}} - \left(\overrightarrow{V_{1}} \bullet\overrightarrow{V_{2}} \right)\overrightarrow{V_{3}}\)

Solution détaillée

Calcul du produit vectoriel \(\overrightarrow{V_{2}} \wedge \overrightarrow{V_{3}}\) :

\(\left(\overrightarrow{V_{2}} \wedge \overrightarrow{V_{3}}\right) = (y_{2}z_{3} - y_{3}z_{2}) \vec{i} + (z_{2}x_{3} - z_{3}x_{2}) \vec{j} + (x_{2}y_{3} - x_{3}y_{2} ) \vec{k}\)

d'où \(\begin{array}{ll}\overrightarrow{V_{1}} \wedge \left(\overrightarrow{V_{2}} \wedge \overrightarrow{V_{3}}\right) &= \left(x_{1}z_{2}x_{3} - x_{1}z_{3}x_{2} - y_{1}y_{2}z_{3} + y_{1}y_{3}z_{2} \right) \vec{k} \\ & + \left(z_{1}y_{2}z_{3} - z_{1}y_{3}z_{2} - x_{1}x_{2}y_{3} + x_{3}x_{1}y_{2} \right) \vec{j} \\ & + \left(y_{1}x_{2}y_{3} - y_{1}x_{3}y_{2} - z_{1}z_{2}x_{3} + z_{1}z_{3}x_{2} \right) \vec{i} \end{array}\)

Ajoutons et retranchons le même terme \(z_{1}z_{2}z_{3}\) sur \(\vec{k}\), \(y_{1}y_{2}y_{3}\) sur \(\vec{j}\) et \(x_{1}x_{2}x_{3}\) sur \(\vec{i}\).

\( \begin{array}{llll} & ~ = \left(x_{1}x_{3} + y_{1}y_{3} \right) z_{2} \vec{k} - \left(x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}\right)z_{3}\vec{k} + z_{1}z_{2}z_{3} \vec{k} - z_{1}z_{2}z_{3}\vec{k} \\ \\ & + \left(z_{1}z_{3} + x_{1}x_{3} \right) y_{2} \vec{j} - \left(z_{1}z_{2} + x_{1}x_{2}\right)y_{3}\vec{j} + y_{1}y_{2}y_{3} \vec{j} - y_{1}y_{2}y_{3}\vec{j} \\ \\ & + \left(y_{1}y_{3} + z_{1}z_{3} \right) x_{2} \vec{i} - \left(y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}\right)x_{3}\vec{i} + x_{1}x_{2}x_{3} \vec{i} - x_{1}x_{2}x_{3}\vec{i} \\ \\ & ~ = \left(x_{1}x_{3} + y_{1}y_{3} + z_{1}z_{3} \right) z_{2}\vec{k} - \left(x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}\right)z_{3} \vec{k} \\ \\ & + \left(z_{1}z_{3} + x_{1}x_{3} + y_{1}y_{3} \right) y_{2}\vec{j} - \left(x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}\right)y_{3} \vec{j} \\ \\ & + \left(y_{1}y_{3} + z_{1}z_{3} + x_{1}x_{3} \right)x_{2}\vec{i} - \left(x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2} \right) x_{3} \vec{i} \\ \\ & = \left(x_{1}x_{3} + y_{1}y_{3} + z_{1}z_{3} \right) \left(x_{2} \vec{i} + y_{2} \vec{j} + z_{2} \vec{k} \right)\\ \\ & - \left(x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2} \right) \left(x_{3} \vec{i} + y_{3} \vec{j} + z_{3} \vec{k} \right)\end{array}\)

\(\overrightarrow{V_{1}} \wedge \left(\overrightarrow{V_{2}} \wedge \overrightarrow{V_{3}}\right) = \left(\overrightarrow{V_{1}} \bullet \overrightarrow{V_{3}}\right) \overrightarrow{V_{2}} - \left(\overrightarrow{V_{1}} \bullet\overrightarrow{V_{2}} \right)\overrightarrow{V_{3}}\)

Question

Soient trois vecteurs \(\overrightarrow{V_{1}},\overrightarrow{V_{2}},\overrightarrow{V_{3}}\) dans un repère orthonormé direct \(\left(O ;\vec{i},\vec{j},\vec{k} \right)\).

On posera : \(\overrightarrow{V_{\alpha}} = x_{\alpha} \vec{i} + y_{\alpha} \vec{j} + z_{\alpha} \vec{k}\) avec \(\alpha\in\{1,2,3\}\)

A partir de l'expression du double produit vectoriel :

\(\overrightarrow{V_{1}} \wedge \left(\overrightarrow{V_{2}} \wedge \overrightarrow{V_{3}}\right) = \left(\overrightarrow{V_{1}} \bullet \overrightarrow{V_{3}}\right) \overrightarrow{V_{2}} - \left(\overrightarrow{V_{1}} \bullet\overrightarrow{V_{2}} \right)\overrightarrow{V_{3}}\)

Démontrer qu'on a la relation : \(\left(\overrightarrow{V_{1}} \wedge \overrightarrow{V_{2}}\right) \wedge \overrightarrow{V_{3}} = \left(\overrightarrow{V_{1}} \bullet \overrightarrow{V_{3}}\right) \overrightarrow{V_{2}} - \left(\overrightarrow{V_{2}} \bullet\overrightarrow{V_{3}} \right)\overrightarrow{V_{1}}\)

Aide simple

Remplacer dans l'expression du double produit vectoriel \(\overrightarrow{V_{1}} \wedge \left(\overrightarrow{V_{2}} \wedge \overrightarrow{V_{3}}\right)\), les vecteurs \(\overrightarrow{V_{1}} , \overrightarrow{V_{2}}\) et \(\overrightarrow{V_{3}}\) respectivement par \(\overrightarrow{V_{3}} , \overrightarrow{V_{1}}\) et \(\overrightarrow{V_{2}}\).

Aide détaillée

Après cette permutation circulaire des vecteurs, se servir de la propriété d'anticommutativité du produit vectoriel et de la propriété de commutativité du produit scalaire.

Solution détaillée

Par substitution des vecteurs \(\overrightarrow{V_{1}} , \overrightarrow{V_{2}}\) et \(\overrightarrow{V_{3}}\) par \(\overrightarrow{V_{3}} , \overrightarrow{V_{1}}, \overrightarrow{V_{2}}\) dans le double produit vectoriel :

\(\overrightarrow{V_{1}} \wedge \left(\overrightarrow{V_{2}} \wedge \overrightarrow{V_{3}}\right) = \left(\overrightarrow{V_{1}} \bullet \overrightarrow{V_{3}}\right) \overrightarrow{V_{2}} - \left(\overrightarrow{V_{1}} \bullet\overrightarrow{V_{2}} \right)\overrightarrow{V_{3}}\)

nous obtenons :

\(\overrightarrow{V_{3}} \wedge \left(\overrightarrow{V_{1}} \wedge \overrightarrow{V_{2}}\right) = \left(\overrightarrow{V_{3}} \bullet \overrightarrow{V_{2}}\right) \overrightarrow{V_{1}} - \left(\overrightarrow{V_{3}} \bullet\overrightarrow{V_{1}} \right)\overrightarrow{V_{2}}\)

D'après la propriété d'anticommutativité du produit vectoriel :

\(\begin{array}{ll}\left(\overrightarrow{V_{1}} \wedge \overrightarrow{V_{2}}\right) \wedge \overrightarrow{V_{3}} &= - \left[\overrightarrow{V_{3}} \wedge \left(\overrightarrow{V_{1}} \wedge \overrightarrow{V_{2}}\right) \right] \\ \\ &= + \left(\overrightarrow{V_{3}} \bullet \overrightarrow{V_{1}}\right) \overrightarrow{V_{2}} - \left(\overrightarrow{V_{3}} \bullet\overrightarrow{V_{2}} \right)\overrightarrow{V_{1}} \end{array}\)

Le produit scalaire étant commutatif :

\(\overrightarrow{V_{3}} \bullet \overrightarrow{V_{1}} = \overrightarrow{V_{1}} \bullet \overrightarrow{V_{3}}\) et \(\overrightarrow{V_{3}} \bullet \overrightarrow{V_{2}} = \overrightarrow{V_{2}} \bullet \overrightarrow{V_{3}}\)

d'où

\(\left(\overrightarrow{V_{1}} \wedge \overrightarrow{V_{2}}\right) \wedge \overrightarrow{V_{3}} = \left(\overrightarrow{V_{1}} \bullet \overrightarrow{V_{3}}\right) \overrightarrow{V_{2}} - \left(\overrightarrow{V_{2}} \bullet\overrightarrow{V_{3}} \right)\overrightarrow{V_{1}}\)

Question

Soient trois vecteurs \(\overrightarrow{V_{1}},\overrightarrow{V_{2}},\overrightarrow{V_{3}}\) dans un repère orthonormé direct \(\left(O ;\vec{i},\vec{j},\vec{k} \right)\).

On posera : \(\overrightarrow{V_{\alpha}} = x_{\alpha} \vec{i} + y_{\alpha} \vec{j} + z_{\alpha} \vec{k}\) avec \(\alpha\in\{1,2,3\}\)

Vérifier l'identité de Jacobi :

\(\overrightarrow{V_{1}} \wedge \left(\overrightarrow{V_{2}} \wedge\overrightarrow{V_{3}} \right) + \overrightarrow{V_{2}} \wedge\left(\overrightarrow{V_{3}} \wedge\overrightarrow{V_{1}}\right) +\overrightarrow{V_{3}}\wedge \left(\overrightarrow{V_{1}} \wedge\overrightarrow{V_{2}}\right) =\overrightarrow{0}\)

Aide simple

Appliquer le résultat du double produit de trois vecteurs à chacun de ces termes.

Aide détaillée

Les six termes obtenus s'éliminent deux à deux.

Solution détaillée

Calculons les trois " double produit vectoriel ".

\( \overrightarrow{V_{1}} \wedge \left(\overrightarrow{V_{2}} \wedge\overrightarrow{V_{3}} \right) = \left(\overrightarrow{V_{1}} \bullet \overrightarrow{V_{3}}\right) \overrightarrow{V_{2}} - \left(\overrightarrow{V_{2}} \bullet \overrightarrow{V_{3}}\right) \overrightarrow{V_{1}}\)

\( \overrightarrow{V_{2}} \wedge \left(\overrightarrow{V_{3}} \wedge\overrightarrow{V_{1}} \right) = \left(\overrightarrow{V_{2}} \bullet \overrightarrow{V_{1}}\right) \overrightarrow{V_{3}} - \left(\overrightarrow{V_{3}} \bullet \overrightarrow{V_{1}}\right) \overrightarrow{V_{2}}\)

\( \overrightarrow{V_{3}} \wedge \left(\overrightarrow{V_{1}} \wedge\overrightarrow{V_{2}} \right) = \left(\overrightarrow{V_{3}} \bullet \overrightarrow{V_{2}}\right) \overrightarrow{V_{1}} - \left(\overrightarrow{V_{1}} \bullet \overrightarrow{V_{2}}\right) \overrightarrow{V_{3}}\)

Additionnons les trois " double produit vectoriel " en tenant compte de la commutativité du produit scalaire :

\(\overrightarrow{V_{1}} \wedge \left(\overrightarrow{V_{2}} \wedge\overrightarrow{V_{3}} \right) + \overrightarrow{V_{2}} \wedge\left(\overrightarrow{V_{3}} \wedge\overrightarrow{V_{1}}\right) +\overrightarrow{V_{3}}\wedge \left(\overrightarrow{V_{1}} \wedge\overrightarrow{V_{2}}\right) =\overrightarrow{0}\)