Produit vectoriel

Partie

Question

Soient trois points \(A(1,1,1), ~B(-1,3,1)\) et \(C(1,6,-4)\) dans un repère cartésienne orthonormé \(\left(O ;\vec{i},\vec{j},\vec{k} \right)\).

Déterminer les composantes et les normes des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

Aide simple

Pour calculer les composantes d'un vecteur, utiliser la relation de Chasles et le théorème de Pythagore par les modules.

Aide détaillée

Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\)

Théorème de Pythagore : \(\Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \Big\Arrowvert = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}}\)

Solution simple

Par application de la relation de Chasles : \(\begin{array}{l} \overrightarrow{AB} = -2 ~\vec{i} + 2 ~\vec{j} \\ \overrightarrow{AC} = 5 ~\vec{j} - 5 ~\vec{k} \end{array}\)

Par application du théorème de Pythagore : \(\begin{array}{l} \Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \Big\Arrowvert = 2 \sqrt{2} \\ \Big\Arrowvert \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert = 5 \sqrt{2} \end{array}\)

Solution détaillée

Application de la relation de Chasles pour les composantes :

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (-1,3,1) - (1,1,1) = (-2,2,0) \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = -2 \vec{i} + 2\vec{j}\)

\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (1,6,-4) - (1,1,1) = (0,5,-5) \Leftrightarrow \overrightarrow{AC} = 5 \vec{j} - 5\vec{k}\)

Normes ( ou modules ) de ces vecteurs :

\(\Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \Big\Arrowvert = \sqrt{(-2)^{2} + (2)^{2}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow \Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \Big\Arrowvert = 2 \sqrt{2}\)

\(\Big\Arrowvert \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert = \sqrt{(5)^{2} + (-5)^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2} \Leftrightarrow \Big\Arrowvert \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert = 5 \sqrt{2}\)

Question

Soient trois points \(A(1,1,1), ~B(-1,3,1)\) et \(C(1,6,-4)\) dans un repère cartésienne orthonormé \(\left(O ;\vec{i},\vec{j},\vec{k} \right)\).

Calculer le produit vectoriel \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\). En déduire l'aire du triangle \(ABC\) et l'angle \(\hat{A}\) intérieur de ce triangle.

Aide simple

Calculer analytiquement le produit vectoriel \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) . L'aire du triangle s'exprime en fonction du module de ce produit vectoriel. L'angle \(\hat{A}\) se déduit de la forme géométrique de ce produit vectoriel.

Aide détaillée

Par définition : Aire du triangle \(ABC\) : \(\mathcal{A} = \frac{\Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert}{2}\)

et l'angle \(\hat{A} = \left( \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC} \right) \Rightarrow \sin \left( \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC} \right) = \frac{\Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert}{\Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \Big\Arrowvert \Big\Arrowvert \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert}\)

Solution simple

Expression du produit vectoriel : \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = -10 \left(\vec{i} + \vec{j} + \vec{k} \right)\)

Aire du triangle ABC : \(\mathcal{A} = \frac{\Big\Arrowvert\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\Big\Arrowvert}{2} = 5 \sqrt{3}\)

Valeur de l'angle \(\hat{A} = \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right) = \pi/3\)

Solution détaillée

Calcul du produit vectoriel :

\(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \left\arrowvert\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & -5 \end{array}\right\arrowvert = -10 ~\vec{i} - 10 ~\vec{j} - 10 ~\vec{k} = -10\left(\vec{i} + \vec{j} + \vec{k} \right)\)

L'aire du triangle \(ABC\) est égale à : \(\mathcal{A} = \frac{1}{2} \Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert = \frac{1}{2} . 10 \sqrt{3} = 5 \sqrt{3} \Leftrightarrow \mathcal{A} = 5 \sqrt{3}\)

Utilisation de la forme géométrique du produit vectoriel pour le calcul du sinus de l'angle \(\hat{A} = \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)\).

\(\Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert = \Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \Big\Arrowvert \Big\Arrowvert \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert \sin \left(\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}\right) \Leftrightarrow \sin \left(\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}\right) = \frac{\Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert}{\Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \Big\Arrowvert \Big\Arrowvert \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert} = \frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{2} . 5 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \hat{A} = 60^{\circ} \textrm{ ou } \frac{\pi}{3}\)

Question

Soient trois points \(A(1,1,1), ~B(-1,3,1)\) et \(C(1,6,-4)\) dans un repère cartésienne orthonormé \(\left(O ;\vec{i},\vec{j},\vec{k} \right)\).

A partir du produit vectoriel, retrouver l'équation cartésienne de la droite \((D)\) qui passe par les points \(A(1,1,1)\) et \(B(-1,3,1)\)

Aide simple

Exprimer la relation, vérifiée par un point \(M(x, y, z)\) qui appartient à la droite \((D)\) , sous la forme d'un produit vectoriel.

Aide détaillée

Pour un point \(M(x,y,z) \in (D) \Rightarrow \overrightarrow{AM} \wedge \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}\)

Solution simple

La relation \(\overrightarrow{AM} \wedge \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}\) conduit à \(z = 1\) et \(y = -x+2\)

Solution détaillée

Si \(M(x,y,z) \in (D)\) alors \(\overrightarrow{AM} \wedge \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}\)

or \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = (x,y,z) - (1,1,1) = (x-1,y-1,z-1)\)

rt \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = -2\vec{i} + 2\vec{j}\) ( question 1 )

alors \(\overrightarrow{AM} \wedge \overrightarrow{AB} =\left \arrowvert \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x-1 & y-1 & z-1 \\ -2 & 2 & 0 \end{array} \right\arrowvert = -2(z-1) \vec{i} - 2(z-1) \vec{j} + \big[2(x-1) + 2(y-1)\big] \vec{k} = \vec{0}\)

donc l'équation cartésienne de la droite\((D)\) sera :

\(\begin{array}{ll} z-1 = 0 & \Leftrightarrow z = 1 \\ 2\big[(x-1) + (y-1)\big] = 0 &\Leftrightarrow x+y-2 = 0 \end{array}\)