Le produit mixte
Partie
Question
Soient trois points \(A(-1,-2,5)\) ; \(B(1,7,1)\) et \(C(3,4,1)\) rapportés à un repère orthonormé.
Calculer l'aire du triangle \(ABC\).
Aide simple
L'aire du triangle fait intervenir les composantes des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\)
Aide détaillée
L'aire du triangle s'exprime à partir du produit vectoriel : \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\).
Solution simple
Par définition, l'aire du triangle \(ABC\) est : \(\mathcal{A} = \frac{1}{2} \Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert = 14 \textrm{u.a}\)
Solution détaillée
Déterminons les composantes de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\):
\(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} =\left\arrowvert \begin{array}{c}1 \\ 7 \\ 1 \end{array} \right. - \left\arrowvert \begin{array}{c}-1 \\ -2 \\ 5 \end{array} \right. = \left\arrowvert \begin{array}{c}2 \\ 9 \\ -4 \end{array} \right. \overrightarrow{AB} = 2 \vec{i} + 9 \vec{j} - 4 \vec{k}\)
\(\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} =\left\arrowvert \begin{array}{c}3 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right. - \left\arrowvert \begin{array}{c}-1 \\ -2 \\ 5 \end{array} \right. = \left\arrowvert \begin{array}{c}4 \\ 6 \\ -4 \end{array} \right. \overrightarrow{AC} = 4 \vec{i} + 6 \vec{j} - 4 \vec{k}\)
Calculons le produit vectoriel \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \left\arrowvert\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 9 & -4 \\ 4 & 6 & -4 \end{array}\right\arrowvert = (-36 + 24) \vec{i} + (-16 + 8) \vec{j} + (12 - 36) \vec{k}\)
\(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = -12 \vec{i} - 8 \vec{j} - 24 \vec{k}\) \(\qquad\) \(\Arrowvert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \Arrowvert = \sqrt{(-12)^{2} + (-8)^{2} + (-24)^{2}} = 28\)
d'où \(\mathcal{A} = \frac{1}{2} \Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert = 14 \textrm{u.a}\)
Question
Soient trois points \(A(-1,-2,5)\) ; \(B(1,7,1)\) et \(C(3,4,1)\) rapportés à un repère orthonormé.
Déterminer les coordonnées du sommet \(D\), opposé à \(A\), du parallélogramme \(ABCD\).
Aide simple
Le point \(D\) s'obtient à partir du point \(A\) par addition vectorielle.
Aide détaillée
Connaissant les composantes des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), nous obtenons les composantes du vecteur \(\overrightarrow{AD}\) par \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)
Solution simple
Par définition : \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{OA} =\left\arrowvert \begin{array}{c}5 \\ 13 \\ -3 \end{array} \right.\)
Solution détaillée
Le vecteur \(\overrightarrow{AD}\) s'obtient par la règle du parallélogramme d'où :
\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)
d'où \(\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{OA} = \left\arrowvert \begin{array}{c} 2 \\ 9 \\ -4 \end{array} \right. + \left\arrowvert \begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ -4 \end{array} \right. + \left\arrowvert \begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 5 \end{array} \right. = \left\arrowvert \begin{array}{c}5 \\ 13 \\ -3 \end{array} \right.\)
\(\overrightarrow{OD} = 5 \vec{i} + 13 \vec{j} - 3 \vec{k}\)
Question
Soient trois points \(A(-1,-2,5)\) ; \(B(1,7,1)\) et \(C(3,4,1)\) rapportés à un repère orthonormé.
Calculer le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs \(\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AO}\). En déduire la distance \(d\) de \(O\) au plan \(ABC\).
Aide simple
Le calcul du volume fait intervenir le produit mixte de trois vecteurs.
Aide détaillée
Le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs \(\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AO}\) s'obtient par le module du produit mixte : \(V = \Big\Arrowvert \left( \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{AO}\Big\Arrowvert\)
Solution simple
Par définition, le volume du parallélépipède sera : \(V = \Big\Arrowvert \left( \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{AO}\Big\Arrowvert = 92 \textrm{uv}\)
et la distance \(d\) du point \(O\) au plan \(ABC\)
\(\textrm{d}(O,ABC) \# \mathrm{6,57}\)
Solution détaillée
Le volume du parallélépipède est défini par le produit mixte des vecteurs \(\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AO}\)
\(V = \Big\Arrowvert \left( \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{AO}\Big\Arrowvert =\Big\Arrowvert \left(-12 \vec{i} - 8 \vec{j} - 24 \vec{k}\right) \cdot \left(\vec{i} + 2 \vec{j} - 5\vec{k}\right)\Big\Arrowvert = 92 \textrm{u.v}\)
La distance \(d\) du point \(O\) au plan \(ABC\) représente la hauteur du parallélépipède, d'où :
\(\textrm{d}(O,ABC) = \frac{V}{\mathcal{A}} = \frac{92}{14}~\# \mathrm{6,57}\)
Question
Soient trois points \(A(-1,-2,5)\) ; \(B(1,7,1)\) et \(C(3,4,1)\) rapportés à un repère orthonormé.
Déterminer l'équation cartésienne du plan \(( P )\) contenant le parallélogramme \(ABCD\).
Aide simple
Considérer un point \(M(x, y, z)\) appartenant au plan \(( P )\) défini par les points \(A\), \(B\) et \(C\).
Aide détaillée
La détermination de cette équation fait intervenir un produit mixte.
Solution simple
Si \(M(x,y,z) \in (P)\) alors
\(\overrightarrow{AM} \cdot \left(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow\) Equation du plan : \(3x+2y+6z-23 = 0\)
Solution détaillée
Le vecteur défini par le produit vectoriel \(\left(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \right)\) est perpendiculaire au plan \(( P )\). Si le point \(M(x,y,z) \in(P)\) alors le vecteur \(\overrightarrow{AM}\) se trouve dans le plan \(( P )\) et comme les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\left(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \right)\) sont orthogonaux, leur produit scalaire est nul, d'où :
\(M(x,y,z) \in (P) \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} \cdot \left(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \right) = 0\)
avec \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} =\left\arrowvert \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right. - \left\arrowvert \begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 5 \end{array} \right. = \left\arrowvert \begin{array}{c} x + 1 \\ y + 2 \\ z - 5 \end{array} \right.\)
et \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \left\arrowvert \begin{array}{c} -12 \\ -8 \\ -24 \end{array} \right.\)
d'où \(\overrightarrow{AM} \cdot \left(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \right) =\left\arrowvert \begin{array}{c} x+1 \\ y+2 \\ z-5 \end{array} \right. \cdot \left\arrowvert \begin{array}{c} -12 \\ -8 \\ -24 \end{array} \right. = 0\)
\(\Leftrightarrow -12(x+1)-8(y+2) - 24(z-5) = 0\)
\(\Leftrightarrow 3(x+1)+2(y+2) +6(z-5) = 0\)
Equation du plan : \(3x+2y + 6z - 23 = 0\)
Remarque : Le point \(D(5,13,-3)\) vérifie bien cette équation puisqu'il appartient à \((P)\).