Le produit mixte

Partie

Question

Soient trois points \(A(-1,-2,5)\) ; \(B(1,7,1)\) et \(C(3,4,1)\) rapportés à un repère orthonormé.

Calculer l'aire du triangle \(ABC\).

Aide simple

L'aire du triangle fait intervenir les composantes des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\)

Aide détaillée

L'aire du triangle s'exprime à partir du produit vectoriel : \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\).

Solution simple

Par définition, l'aire du triangle \(ABC\) est : \(\mathcal{A} = \frac{1}{2} \Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert = 14 \textrm{u.a}\)

Solution détaillée

Déterminons les composantes de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\):

\(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} =\left\arrowvert \begin{array}{c}1 \\ 7 \\ 1 \end{array} \right. - \left\arrowvert \begin{array}{c}-1 \\ -2 \\ 5 \end{array} \right. = \left\arrowvert \begin{array}{c}2 \\ 9 \\ -4 \end{array} \right. \overrightarrow{AB} = 2 \vec{i} + 9 \vec{j} - 4 \vec{k}\)

\(\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} =\left\arrowvert \begin{array}{c}3 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right. - \left\arrowvert \begin{array}{c}-1 \\ -2 \\ 5 \end{array} \right. = \left\arrowvert \begin{array}{c}4 \\ 6 \\ -4 \end{array} \right. \overrightarrow{AC} = 4 \vec{i} + 6 \vec{j} - 4 \vec{k}\)

Calculons le produit vectoriel \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\).

\(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \left\arrowvert\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 9 & -4 \\ 4 & 6 & -4 \end{array}\right\arrowvert = (-36 + 24) \vec{i} + (-16 + 8) \vec{j} + (12 - 36) \vec{k}\)

\(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = -12 \vec{i} - 8 \vec{j} - 24 \vec{k}\) \(\qquad\) \(\Arrowvert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \Arrowvert = \sqrt{(-12)^{2} + (-8)^{2} + (-24)^{2}} = 28\)

d'où \(\mathcal{A} = \frac{1}{2} \Big\Arrowvert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \Big\Arrowvert = 14 \textrm{u.a}\)

Question

Soient trois points \(A(-1,-2,5)\) ; \(B(1,7,1)\) et \(C(3,4,1)\) rapportés à un repère orthonormé.

Déterminer les coordonnées du sommet \(D\), opposé à \(A\), du parallélogramme \(ABCD\).

Aide simple

Le point \(D\) s'obtient à partir du point \(A\) par addition vectorielle.

Aide détaillée

Connaissant les composantes des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), nous obtenons les composantes du vecteur \(\overrightarrow{AD}\) par \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)

Solution simple

Par définition : \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{OA} =\left\arrowvert \begin{array}{c}5 \\ 13 \\ -3 \end{array} \right.\)

Solution détaillée

Le vecteur \(\overrightarrow{AD}\) s'obtient par la règle du parallélogramme d'où :

\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)

d'où \(\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{OA} = \left\arrowvert \begin{array}{c} 2 \\ 9 \\ -4 \end{array} \right. + \left\arrowvert \begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ -4 \end{array} \right. + \left\arrowvert \begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 5 \end{array} \right. = \left\arrowvert \begin{array}{c}5 \\ 13 \\ -3 \end{array} \right.\)

\(\overrightarrow{OD} = 5 \vec{i} + 13 \vec{j} - 3 \vec{k}\)

Question

Soient trois points \(A(-1,-2,5)\) ; \(B(1,7,1)\) et \(C(3,4,1)\) rapportés à un repère orthonormé.

Calculer le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs \(\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AO}\). En déduire la distance \(d\) de \(O\) au plan \(ABC\).

Aide simple

Le calcul du volume fait intervenir le produit mixte de trois vecteurs.

Aide détaillée

Le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs \(\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AO}\) s'obtient par le module du produit mixte : \(V = \Big\Arrowvert \left( \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{AO}\Big\Arrowvert\)

Solution simple

Par définition, le volume du parallélépipède sera : \(V = \Big\Arrowvert \left( \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{AO}\Big\Arrowvert = 92 \textrm{uv}\)

et la distance \(d\) du point \(O\) au plan \(ABC\)

\(\textrm{d}(O,ABC) \# \mathrm{6,57}\)

Solution détaillée

Le volume du parallélépipède est défini par le produit mixte des vecteurs \(\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AO}\)

\(V = \Big\Arrowvert \left( \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{AO}\Big\Arrowvert =\Big\Arrowvert \left(-12 \vec{i} - 8 \vec{j} - 24 \vec{k}\right) \cdot \left(\vec{i} + 2 \vec{j} - 5\vec{k}\right)\Big\Arrowvert = 92 \textrm{u.v}\)

La distance \(d\) du point \(O\) au plan \(ABC\) représente la hauteur du parallélépipède, d'où :

\(\textrm{d}(O,ABC) = \frac{V}{\mathcal{A}} = \frac{92}{14}~\# \mathrm{6,57}\)

Question

Soient trois points \(A(-1,-2,5)\) ; \(B(1,7,1)\) et \(C(3,4,1)\) rapportés à un repère orthonormé.

Déterminer l'équation cartésienne du plan \(( P )\) contenant le parallélogramme \(ABCD\).

Aide simple

Considérer un point \(M(x, y, z)\) appartenant au plan \(( P )\) défini par les points \(A\), \(B\) et \(C\).

Aide détaillée

La détermination de cette équation fait intervenir un produit mixte.

Solution simple

Si \(M(x,y,z) \in (P)\) alors

\(\overrightarrow{AM} \cdot \left(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow\) Equation du plan : \(3x+2y+6z-23 = 0\)

Solution détaillée

Le vecteur défini par le produit vectoriel \(\left(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \right)\) est perpendiculaire au plan \(( P )\). Si le point \(M(x,y,z) \in(P)\) alors le vecteur \(\overrightarrow{AM}\) se trouve dans le plan \(( P )\) et comme les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\left(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \right)\) sont orthogonaux, leur produit scalaire est nul, d'où :

\(M(x,y,z) \in (P) \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} \cdot \left(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \right) = 0\)

avec \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} =\left\arrowvert \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right. - \left\arrowvert \begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 5 \end{array} \right. = \left\arrowvert \begin{array}{c} x + 1 \\ y + 2 \\ z - 5 \end{array} \right.\)

et \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \left\arrowvert \begin{array}{c} -12 \\ -8 \\ -24 \end{array} \right.\)

d'où \(\overrightarrow{AM} \cdot \left(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \right) =\left\arrowvert \begin{array}{c} x+1 \\ y+2 \\ z-5 \end{array} \right. \cdot \left\arrowvert \begin{array}{c} -12 \\ -8 \\ -24 \end{array} \right. = 0\)

\(\Leftrightarrow -12(x+1)-8(y+2) - 24(z-5) = 0\)

\(\Leftrightarrow 3(x+1)+2(y+2) +6(z-5) = 0\)

Equation du plan : \(3x+2y + 6z - 23 = 0\)

Remarque : Le point \(D(5,13,-3)\) vérifie bien cette équation puisqu'il appartient à \((P)\).