Nombres complexes

Le choix de la forme des nombres complexes est guidé par la simplicité des calculs à effectuer dans les diverses opérations.

Posons :

\(\underline{z} = a+jb =\rho(\cos \theta + j \sin \theta) = \rho e^{j\theta}, ~\overrightarrow{OM} \textrm{ vecteur - image de } \underline{z}\)

\(\underline{z}' = a'+jb' =\rho'(\cos \theta' + j \sin \theta') = \rho' e^{j\theta'}, ~\overrightarrow{OM'} \textrm{ vecteur - image de } \underline{z'}\)

\(\underline{z}'' = a''+jb'' =\rho''(\cos \theta'' + j \sin \theta'') = \rho'' e^{j\theta''}, ~\overrightarrow{OM''} \textrm{ vecteur - image de } \underline{z''}\)

Les formes trigonométrique et exponentielle s'exprimant en repérage polaire par \((\rho,\theta)\) sont dites aussi formes polaires.

\(\underline{z'} = \underline{z''} \Leftrightarrow a' + j b' = a'' + j b'' \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} a' = a'' \\ b' = b'' \end{array}\right.\)

\(z' = z'' \Leftrightarrow \rho'(\cos \theta' + j \sin \theta')=\rho''(\cos \theta'' + j \sin \theta'')\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} \rho' = \rho'' \\ \theta' = \theta'' + 2k \pi \quad k \in \mathbb{Z} \end{array}\right.\)

\(\underline{z}' = \underline{z}'' \Leftrightarrow \overrightarrow{OM}' = \overrightarrow{OM}''\)

Les "vecteurs-images" représentatifs des deux nombres complexes sont confondus

Conclusion

Deux nombres complexes sont égaux s'ils ont :

• même partie réelle et même partie imaginaire

• ou : même module et même argument

• ou : même vecteur-image