Nombres complexes

\(\underline{z}=\underline{z}'\underline{z}'' \Leftrightarrow a+jb=(a'+jb')(a''+jb'')=(a'a''-b'b'')+j(a'b''+b'a'')\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} a= a'a'' - b'b'' \\ b= a'b'' + b'a'' \end{array}\right.\)

\(\begin{array}{ll}\underline{z} = \underline{z}'  \underline{z}'' \Leftrightarrow \rho(\cos \theta + j \sin \theta) & = \rho'(\cos \theta ' + j \sin \theta') ~\rho''(\cos \theta'' + j \sin \theta'') \\ & =\rho'\rho''\left[\left(\cos \theta'\cos\theta''-\sin\theta'\sin\theta''\right)\right. + \\ & \left.j \left(\sin \theta'\cos\theta''+\cos\theta'\sin\theta''\right)\right] \\ & = \rho' \rho''\left[\cos(\theta' + \theta'') + j \sin(\theta' + \theta'')\right]\end{array}\)

soit \(\rho e^{j \theta} = \rho' e^{j \theta'} \rho'' e^{j \theta''} = \rho' \rho'' e^{j(\theta'+\theta'')}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} \rho = \rho' \rho'' \\ \theta = \theta' + \theta'' \end{array}\right.\)

A la vue du résultat de la forme polaire, multiplier le nombre \(\underline{z}'\), de vecteur-image \(\overrightarrow{OM'}\) par un nombre complexe \(\underline{z}''\) de module \(\rho''\) et d'argument \(\theta''\) revient à effectuer sur le "vecteur-image" une rotation d'angle \(+ \theta''\) et une multiplication de son module par \(\rho''\)

Conclusion

L'utilisation de la forme polaire est préférable dans le cas de la multiplication de deux nombres complexes :

• Multiplication des modules

• Addition des arguments