Racine n-ième - Racines carrées d'un nombre complexe
Méthode trigonométrique
On veut résoudre \(\underline{z}^{2} = \underline{Z}\) avec \(\underline{Z} = R ~e^{j(\phi + 2k\pi)}\). En posant
\(\underline{z} = \rho ~e^{j\theta} \Leftrightarrow \underline{z}^{2} = \rho^{2} e^{j2\theta} = R~e^{j(\phi + 2k\pi)}\)
L'application de la formule des racines n-ièmes, pour \(n=2\), conduit aux solutions :
\(\underline{Z}_{k} = \sqrt{R} ~e^{j\left((\phi/2)+k \pi\right)}\) avec \(k \in \{0,1\}\)
d'où :
\(\underline{z}_{1} = \sqrt{R} ~\displaystyle{e^{j \phi/2}}\) et \(\underline{z}_{2} = \sqrt{R} ~\displaystyle{e^{j\left( (\phi/2) + \pi\right)}} = - \underline{z}_{1}\)
Tout nombre complexe non nul admet deux racines carrées opposées.
Exemple :
Racine carées de \(\underline{Z} = 1 + j\sqrt{3}\)
On veut résoudre \(\underline{z}^{2} = \underline{Z}\) avec \(\underline{Z} = 1 + j \sqrt{3} = 2 e^{j\left((\pi/3) + 2k \pi\right)}\)
En posant : \(\underline{z} = \rho ~e^{j \theta}\)
nous avons : \(\underline{z}^{2} = \underline{Z} \Rightarrow \rho^{2} e^{j 2 \theta} = 2 e^{j\left((\pi/3) + 2k \pi\right)}\)
d'où : \(\left\{\begin{array}{ll} \rho^{2} = 2 \Leftrightarrow \rho = + \sqrt{2} \\ \\ 2 \theta = \frac{\pi}{3}+ 2 k \pi \Leftrightarrow \theta = \frac{\pi}{6} + k \pi \qquad k \in \{0,1\} \end{array} \right.\)
donc :
\(\underline{z}_{k} = \sqrt{2} ~e^{j\left((\pi/6) + k \pi\right)} \qquad k \in \{0,1\}\)
\(k=0 \quad \underline{z_{0}} = \sqrt{2}~ e^{j \pi/6} = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{6} + j \sin \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\sqrt{3} + j \right)\)
\(k=1 \quad \underline{z_{1}} = \sqrt{2} ~e^{j 7 \pi/6} = - z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\sqrt{3} + j \right)\)
Méthode algébrique
Sachant que \(\underline{Z} = X + j Y\) on cherche à résoudre \(\underline{z}^{2} = \underline{Z}\) , en posant \(\underline{z} = x + jy\) nous avons
\(\underline{z}^{2} = (x+jy)^{2} = x^{2} - y^{2} + 2jxy = X+j Y\)
puis \(\mid \underline{z}\mid^{2} = \mid \underline{Z}\mid \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = \sqrt{X^{2} + Y^{2}}\)
Après identification, le système d'équations vérifiées par \(x\) et \(y\) devient :
\(\left\{\begin{array}{ll} x^{2} - y^{2} = X \\ x^{2} + y^{2} = \sqrt{X^{2} + Y^{2}} \\ 2xy = Y \end{array} \right.\)
Les deux premières équations conduisent à :
\(x^{2} = \frac{1}{2} \left(X + \sqrt{X^{2} + Y^{2}} \right) \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{X+\sqrt{X^{2} + Y^{2}}}\)
\(y^{2} = \frac{1}{2} \left(-X + \sqrt{X^{2} + Y^{2}} \right) \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{-X+\sqrt{X^{2} + Y^{2}}}\)
La troisième équation détermine le signe de x et de y.
Exemple :
Racine carées de \(\underline{Z} = 1 +j \sqrt{3}\)
On cherche à résoudre \(\underline{z}^{2} = \underline{Z}\) avec \(\underline{Z} = 1 + j \sqrt{3} = X + j Y\)
En posant \(\underline{z} = x + j y\)
nous avons : \(\underline{z}^{2} = \underline{Z} \Leftrightarrow x^{2} - y^{2} + 2jxy = X+jY\)
Par identification :
\(x^{2} - y^{2} = 1\)
\(2xy=\sqrt{3}\)
et \(x^{2} + y^{2} = \sqrt{1^{2} + \left(\sqrt{3}\right)^{2}} = 2\)
De ces équations nous tirons les valeurs de :
\(2 x^{2} = 3 \Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\) et \(2 y^{2} = 1 \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\) sachant que \(x\) et \(y\) sont de même signe.
Solutions :
\(z_{1} = x_{1} + j y_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\sqrt{3} + j\right)\)
\(z_{2} = x_{2} + j y_{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \left(\sqrt{3} + j\right) = - z_{1}\)