Question 1

Durée : 5 mn

Note maximale : 4

Question

Calculer la limite : \(\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{\ln \left(\cos x + \frac{x^{2}}{2}\right)}{x^{4}}}\)

Solution

Le D.L. de Mac Laurin (au voisinage de \(x = 0\)) de \(\cos x\) étant :

\(\cos x = 1-\frac{x^{2}}{2 !} + \frac{x^{4}}{4 !} + x^{4}s(x)\) ( 1 point ) et celui de \(\ln(1+u)\sim u\) ( 1 point ) quand \(u\to 0\) nous obtenons :

\(\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{\ln \left(\cos x + \frac{x^{2}}{2}\right)}{x^{4}}} \cong \displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{\ln \left(1+\frac{x^{4}}{4!} + x^{4}s(x)\right)}{x^{4}}} = \frac{1}{4 !} = \frac{1}{24}\) ( 2 points )