Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances

a. Cette équation est définie pour les valeurs de \(x\) vérifiant les 3 conditions : \((x-1)>0\Rightarrow x>1, (3x+2) >0\Rightarrow x>-\frac{2}{3}\) et \((x^{2} + 13)>0\) toujours vérifié d'où \(x\in]1,+\infty[\). ( 1 point )

D'où :

\(\ln(x-1) + \ln(3x+2) = \ln(x-1)(3x+2) = \ln(x^{2} + 13)\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(3x+2) = x^{2} + 13\) car la fonction \(\ln x\) est bijective.

\(\Leftrightarrow 2x^{2} - x - 15 = 0 \Leftrightarrow x_{1} = -\frac{5}{2} \textrm{ et } x_{2} = +3\) ( 1 point )

donc la solution est : \(S_{1} = \{+3\}\) ( 2 points )

b. Cette équation est définie pour \(x\) vérifiant :

\((x-1)(3x+2)>0\Rightarrow x\in \left]-\infty ; -\frac{2}{3}\right[ \cup ]1 ;+\infty[\) ( 2 points ) et \((x^{2} + 13)>0\) toujours vérifié, d'où l'équation conduit à la solution : \(S_{2} = \left\{-\frac{5}{2} ; +3\right\}\) ( 2 points )