L'intégrale simple

Déterminer l'aire délimitée par les courbes \(y_1^2 = 9x\) et \(y_2 = 3x.\)

Par définition, l'aire colorée est :

\(A=\int_0^1[y_1(x)-y_2(x)]dx\)

\(=\int_0^1[3\sqrt x-3x]dx=[3\frac{2x^{3/2}}3 - \frac32x^2]_0^1\)

\(=[2x^{3/2}-\frac 32 x^2]_0^1=2-\frac32\)

\(\color{red}A=\frac12\)

Déterminer l'aire comprise entre l'axe des abscisses \(Ox\) et l'arche de la cycloïde d'équations :

\(x(t)=R(t-\sin t)\) et \(y(t)=R(1-\cos t)\)

On prend comme élément d'aire : \(dA = y dx\)

les bornes d'intégration étant \(t_1 = 0\) et \(t_2 = 2\pi.\)

d'où

\(S=\int_0^{2\pi R}ydx=\int_0^{2\pi}R(1-\cos t)R(1-\cos t)dt\\=R^2\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2dt\\=R^2\int_0^{2\pi}(1-2\cos t+\cos^2 t) dt\\=R^2\int_0^{2\pi}(1-2\cos t+\frac{1+\cos2t}2)dt\\=R^2[\frac32t-2\sin t+\frac{\sin 2t}4]_0^{2\pi}\\\color{red}A=3\pi R^2\)

Calcul de l'aire intérieure à la lemniscate de Bernoulli d'équation polaire :

\(r^2=a^2\cos2q\)

D'après la symétrie de la courbe, l'aire est quatre fois celle de l'aire colorée.

\(A=4[\frac12\int_{\theta_1}^{\theta_2}\rho^2d\theta]=2\int_0^{\pi/4}a^2\cos 2 \theta d\theta\)

\(\color{red}\boxed{A}\color{black}=2a^2[\frac{\sin2\theta}2]_0^{\pi/4}=\color{red}\boxed{a^2}\)

Calcul de l'aire hachurée de la boucle de lemniscate de Bernoulli d'équation \(\rho_2^2=4\cos2\theta,\) exterieure au cercle d'équation polaire \(\rho_1=\frac{2\sqrt6}3\cos\theta\)

Aux points d'intersection \(M_1\) et \(M_2\) nous avons:

\(\rho_1=\rho_2\Rightarrow4\cos2\theta=\frac{24}9\cos^2\theta\Leftrightarrow\\2\cos^2\theta-1=\frac23\cos^2\theta\Leftrightarrow\\\cos^2\theta=\cos\theta=\pm\frac{\sqrt3}2\)

d'où les solutions:

\(\cos\theta_1=-\frac{\sqrt3}2\Leftrightarrow\theta_1=-\frac{\pi}6[2\pi]\\\cos\theta_2=+\frac{\sqrt3}2\Leftrightarrow\theta_2=+\frac{\pi}{6}[2\pi]\)

Par définition l'aire hachurée s'exprime par:

\(A=\frac12\int_{\theta_1}^{\theta_2}(\rho_2^2-\rho_1^2)d\theta=\frac 12\int_{\theta_1=-\frac{\pi}6}^{\theta_2=+\frac{\pi}6}4(\cos2\theta-\frac23\cos^2\theta)d\theta\\=2\int_{\theta_1=-\frac{\pi}6}^{\theta_2=+\frac{\pi}6}[\cos2\theta-\frac23(\frac{1+\cos2\theta}2)]d\theta\\=\frac23\int_{\theta_1=-\frac{\pi}6}^{\theta_2=+\frac{\pi}6}(2\cos2\theta-1)d\theta=\frac23[\sin2\theta - \theta]_{-\frac{\pi}6}^{+\frac{\pi}6}\\\color{red}A\color{black}=\frac43(\sin\frac{\pi}3-\frac{\pi}6)=\frac{4}{3}(\frac{\sqrt3}2-\frac{\pi}6)=\color{red}\frac29(3\sqrt3-\pi)\approx0,46~~ua\)

Calcul de l'aire plane intérieure à la cardioïde d'équation polaire :

\(\rho = a(1+\cos\theta)\)

D'après la définition:

\(A=\frac12\int_0^{2\pi}\rho^2d\theta=\frac12a^2\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2d\theta\\=\frac{a^2}2\int_0^{2\pi}(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)d\theta\\=\frac{a^2}2\int_0^{2\pi}(\frac32+2\cos\theta+\frac{\cos2\theta}2)d\theta\\=\frac{a^2}2[\frac32\theta+2\sin\theta+\frac14\sin2\theta]_0^{2\pi}\\\boxed{\color{red}A=\frac32\pi a^2}\)

Calcul de l'aire de la surface (appelée cathénoïde) engendrée par la rotation de l'arc de la chaînette \(y = \cosh x,\) autour de l'axe \(Ox\) compris entre les points d'abscisses \(x= 0\) et \(x = 1\)

Par définition: \(dS=2\pi ydl\)

avec \(dl=\sqrt{1+y'^2}dx\)

d'où \(S=\int_{x_1=0}^{x_2=1}2\pi y\sqrt{1+y'^2}dx=2\pi\int_0^1\cosh x\sqrt{1+\sinh^2x}dx\\S=2\pi\int_0^1\cosh^2xdx=2\pi\int_0^1\frac{1+\cosh2x}2dx\\S=\pi[\int_0^1dx+\int_0^1\cosh2xdx]\)

\(\color{red}S\color{black}=\pi[1+\frac{\sinh2x}2]_0^1=\pi[1+\frac{\sinh2}2]=\color{red}\frac{\pi}4(4+e^2-e^{-2})\approx8,84~~u.a.\)

Calcul de l'aire de la surface de révolution engendrée par la rotation de l'arche de la cycloïde autour de l'axe des abscisses.

Par définition: \(dS = 2\pi y dl\)

avec \(dl=\sqrt{f'^2(t)+g'^2(t)}dt\)

Les expressions paramétriques des coordonnées de la cycloïde étant:

\(x = f(t) = R(t-\sin t)\)

\(y = g(t) = R(1-\cos t)\)

Nous aurons: \(S=\int_{t_1=0}^{t_2=2\pi}2\pi g(t)\sqrt{f'^2(t)+g'^2(t)}dt\)

or \(f'^2(t)+g'^2(t)=R^2(1-\cos t)^2+R^2\sin^2t=2R^2(1-\cos t)=4R^2\sin^2\frac t2\)

donc \(S=\int_{t_1=0}^{t_2=2\pi}2\pi R(1-\cos t)(2R\sin\frac t2)dt=8\pi R^2\int_{t_1=0}^{t_2=2\pi}\sin^3\frac t2 dt\)

D'après la relation de linéarisation: \(\sin^3t=\frac14(3\sin t-\sin 3t)\)

nous en déduisons: \(\color{red}S\color{black}=8\pi R^2\times\frac14\int_{t_1=0}^{t_2=2\pi}(3\sin\frac t2-\sin\frac{3t}2)dt\\=-2\pi R^2[6\cos \frac t2-\frac 23\cos\frac{3t}2]_0^{2\pi}\\=-2\pi R^2(-12+\frac43)=\color{red}\frac{64}3R^2\)

Calcul de l'aire de la surface engendrée par la rotation de la cardioïde d'équation \(\rho=a(1+\cos\theta)\) autour de l'axe polaire.

Par définition: \(dS=2\pi ydl\)

avec \(dl=\sqrt{\rho^2+(\frac{d\rho}{d\theta})^2}d\theta=\sqrt{\rho^2+\rho'^2}d\theta\)

et \(y=\rho\sin\theta\)

L'équation polaire de la cardioïde étant : \(\rho=a(1+\cos\theta)\)

nous en déduisons: \(\rho'=-a\sin\theta\)

d'où:

\(\color{red}S\color{black}=\int_0^{\pi}2\pi ydl=\int_0^{\pi}2\pi\rho\sin\theta\sqrt{a^2(1+\cos\theta)^2+a^2\sin^2\theta}d\theta\\=2\pi\int_0^{\pi}a^2(1+\cos\theta)\sin\theta\sqrt{2(1+\cos\theta)}d\theta\\=2\pi a^2\int_0^{\pi}(1+\cos\theta)\sin\theta\sqrt{4\cos^2\frac{\theta}2}d\theta\\=4\pi a^2\int_0^{\pi}(1+\cos\theta)\sin\theta\cos\frac{\theta}2d\theta\\=16\pi a^2\int_0^{\pi}\cos^4\frac{\theta}2\sin\frac{\theta}2d\theta\\=\frac{-32\pi a^2}5[\cos^5\frac{\theta}2]_0^{\pi}=\color{red}\frac{32}5\pi a^2\)