Question 4
Durée : 10 mn
Note maximale : 7
Question
Déterminer, pendant cette même période, la puissance moyenne \(\overline{p(t)}\)aux bornes du dipôle.
Par définition, la puissance moyenne, entre \(t_1\) et \(t_2,\) aux bornes d'un dipôle, où la d.d.p. est \(u(t)\) et l'intensité \(i(t),\) est donnée par :
avec \(\overline{p(t)} = \frac1{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}p(t)dt\) avec \(p(t) = u(t) i(t)\)
Solution
Pendant cette même période, la puissance moyenne sera :
\(\overline{p(t)}=\frac 1T\int_0^Tu(t)i(t)dt=\frac{U_mI_m}{T}\int_0^T\sin\omega t\sin(\omega t + \varphi)dt\)
or comme \(\sin\omega t\sin(\omega t + \varphi)=\frac12[\cos\varphi-\cos(2\omega t+\varphi)]\)
\(\overline{p(t)}=\frac{U_mI_m}{2T}\int_0^T[\cos\varphi-\cos(2\omega t+\varphi)]dt~~\color{red}\text{ (2 pts)}\)
\(\overline{p(t)}=\frac{U_mI_m}{2T}[(\cos\varphi)t-\frac{\sin(2\omega t+\varphi)}{2\omega}]_0^T~~\color{red}\text{ (2 pts)}\)
\(\color{blue}\overline{p(t)}\color{black}=\frac{U_mI_m}{2T}[T\cos\varphi-\frac{\sin(2\omega T+\varphi)}{2\omega}+\frac{\sin\varphi}{2\omega}]=\color{blue}\frac{U_mI_m}{2T}\cos\varphi~~\color{red}\text{ (3 pts)}\)