Équations différentielles du 1er ordre

La solution générale \(v(t)\) de l'équation complète est la somme de la solution \(v_H\) du système homogène :

\(m\dot{v}_H+6\pi\eta rv_H=0\)

\(\Rightarrow\color{blue}v_H=KE^{-\frac{6\pi\eta r}mt} ~~\color{red}\text{(2 points)}\)

et d'une solution particulière \(v_P\) de l'équation complète (solution précédente)

\(\color{blue}v_p=\frac{mg}{6\pi\eta r}~~\color{red}\text{(2 points)}\)

d'où

\(v=v_H+v_p=Ke^{-\frac{6\pi\eta r}mt}+\frac{mg}{6\pi\eta r}\)

La constante \(K\) s'obtient à partir des conditions initiales \(v(0) = 0\) d'où :

\(\color{blue}K=-\frac{mg}{6\pi\eta r}\) et \(\color{blue}v=-\frac{mg}{6\pi\eta r}(1-e^{-\frac{6\pi\eta r}mt})~~\color{red}\text{(4 points)}\)