Espace vectoriel / Sous-espace vectoriel
Définition :
On dit que l'ensemble \(E\), non vide, est un espace vectoriel sur \(\mathbb{K}\) (\(\mathbb{K}\) = \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)) ou \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel si \(E\) est muni des deux lois de composition :
loi de composition interne "addition" :
\(\forall (x, y) \in E^{2} \rightarrow x + y \in E\) vérifiant :
\(\forall (x, y, z) \in E^{3} \quad (x+y) + z = x + (y + z)\) (associativité)
\(\forall (x, y) \in E^{2} \quad x + y = y + x\) (commutativité)
\(\forall x \in E \quad x + O_{E} = O_{E} + x = x\) (avec \(O_{E}\) : élément neutre)
\(\forall x \in E \quad x + (-x) = O_{E}\) (\(-x\) : élément symétrique)
\((E, +)\) : structure de groupe abélien
loi de composition externe "multiplication par un scalaire" :
\(\forall \alpha \in \mathbb{K}~~\&~~\forall x \in E \rightarrow \alpha x \in E\) vérifiant :
\(\forall \alpha \in \mathbb{K}~~\&~~\forall (x, y) \in E^{2} \qquad \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y\)
\(\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{K}^{2}~~\&~~\forall (x, y) \in E^{2} \qquad (\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x\)
\(\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{K}^{2}~~\&~~\forall (x, y) \in E^{2} \qquad \alpha~(\beta)x = (\alpha \beta) x\)
\(\forall x \in E \qquad 1x = x\)
Les éléments de \(E\) sont appelés "vecteurs", les éléments de \(\mathbb{K}\) sont appelés "scalaires".
On dit qu'une partie \(F\), non vide, d'un espace vectoriel \(E\) sur \(\mathbb{K}\) (\(\mathbb{K}\)=\(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)) est un sous -espace vectoriel de \(E\) si et seulement si
\(\forall (x, y) \in F^{2} \qquad x + y \in F\)
\(\forall x \in F~~\&~~\forall \alpha \in F \qquad \alpha x \in F\)
OU
\(\forall (x, y) \in F^{2}\) et \(\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{K}^{2} \qquad (\alpha x + \beta y) \in F\)
Propriété :
\(\forall \alpha \in \mathbb{K}~~\&~~\forall x \in E \qquad \alpha x = O_{E} \Leftrightarrow \alpha = O_{\mathbb{K}}\) ou \(x = O_{E}\)
Les éléments neutres de \(\mathbb{K}\) (\(O_{\mathbb{K}}\)) et de \(E\) (\(O_{E}\)) peuvent être représentés par le même symbole \(O\).
Exemple : Ensemble des vecteurs de R3 en géométrie
Ensemble des vecteurs de \(R^{3}\) en géométrie
Loi de composition interne : addition vectorielle, notée "\(+\)" \(\left( \overset{\rightarrow}{V}, \overset{\rightarrow}{V'} \right) \longmapsto \overset{\rightarrow}{V} + \overset{\rightarrow}{V'}\)
Associativité : \(\overset{\rightarrow}{V} + \left( \overset{\rightarrow}{V'} + \overset{\rightarrow}{V"} \right) = \left( \overset{\rightarrow}{V} + \overset{\rightarrow}{V'} \right) + \overset{\rightarrow}{V"}\)
Commutativité : \(\overset{\rightarrow}{V} + \overset{\rightarrow}{V'} = \overset{\rightarrow}{V'} + \overset{\rightarrow}{V}\)
Élément neutre \(\overset{\rightarrow}{0}\) : \(\overset{\rightarrow}{V} + \overset{\rightarrow}{0} = \overset{\rightarrow}{0} + \overset{\rightarrow}{V} = \overset{\rightarrow}{V}\)
Élément symétrique \(- \overset{\rightarrow}{V}\) : \(\overset{\rightarrow}{V} + (-\overset{\rightarrow}{V}) = \overset{\rightarrow}{0}\)
Loi de composition externe : multiplication par un scalaire \(\Big( \alpha, \overset{\rightarrow}{V} \Big) \mapsto \alpha \overset{\rightarrow}{V}\)
\(\begin{array}{r c l} \alpha \Big( \overset{\rightarrow}{V} + \overset{\rightarrow}{V'} \Big) & = & \alpha \overset{\rightarrow}{V} + \alpha \overset{\rightarrow}{V'} \\\Big( \alpha + \beta \Big) \overset{\rightarrow}{V} & = & \alpha \overset{\rightarrow}{V} + \beta \overset{\rightarrow}{V} \\\alpha \Big( \beta \overset{\rightarrow}{V} \Big) & = & \Big( \alpha \beta \Big) \overset{\rightarrow}{V} \\1 \overset{\rightarrow}{V} & = & \overset{\rightarrow}{V} \end{array}\)
Ensemble \(R_{n}[X]\) des polynômes de degré \(n\) est un espace vectoriel réel.
Ensemble \(M_{n}~(\mathbb{R})\) des matrices carrées d'ordre \(n\) est également un espace vectoriel réel.